Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Outras Indeterminações

UFRJ - Cálculo 1 - PF 2015.1 - 1 a

Calcule

lim t → 0 ± ⁡ 1 t 1 + ln 2 ⁡ t

Passo 1

Antes de qualquer coisa, o que é esse ( ± ) em t → 0 ± ? Isso significa que a questão quer o limite lateral pela direita e pela esquerda. Antes de calcularmos, devemos simplificar ao máximo o limite que está aí.

Testando a indeterminação, vemos que há uma indeterminação produto no denominador:

lim t → 0 ± ⁡ 1 t 1 + ln 2 ⁡ t ⟹ 1 0 ⋅ ∞

Pode isso, Arnaldo? Pode não tem problema nenhum (Arnaldo que me disse).

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos arranjar tudo para ficar com uma indeterminação de L’Hôpital, para isso jogamos um fator para cima:

lim t → 0 ± ⁡ 1 t 1 + ln 2 ⁡ t = lim t → 0 ± ⁡ 1 / t 1 + ln 2 ⁡ t ⟹ ∞ ∞

Agora, podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 3

Aplicando a regra:

lim t → 0 ± ⁡ 1 / t 1 + ln 2 ⁡ t = lim t → 0 ± ⁡ 1 / t ' 1 + ln 2 ⁡ t '

Derivando o numerador:

1 t ' = - 1 t 2

Para derivar o denominador, usamos a regra da cadeia:

1 + ln 2 ⁡ t ' = 2 ln ⁡ t ⋅ ln ⁡ t ' = 2 ln ⁡ t t ⟹ 1 1 + ln 2 ⁡ t ' = t 2 ln ⁡ t

Substituindo tudo like a boss:

lim t → 0 ± ⁡ 1 t ' 1 + ln 2 ⁡ t ' = l i m t → 0 ± 1 t ' ⋅ 1 1 + ln 2 ⁡ t ' = l i m t → 0 ± - 1 t 2 ⋅ t 2 ln ⁡ t = l i m t → 0 ± - 1 2 t ln ⁡ t

Sendo que:

l i m t → 0 ± - 1 2 t ln ⁡ t ⟹ - 1 0 ⋅ ∞ ;   l i m t → 0 ± - 1 2 t ln ⁡ t = l i m t → 0 ± - 1 / t 2 ln ⁡ t ⟹ - ∞ ∞

Putz, teremos que aplicar L’Hôpital novamente, vamos lá:

… = l i m t → 0 ± - 1 / t 2 ln ⁡ t =   l i m t → 0 ± - 1 / t ' 2 ln ⁡ t ' = l i m t → 0 ± 1 / t ² 2 / t = l i m t → 0 ± 1 t ² ⋅ t 2 = l i m t → 0 ± 1 2 t

Agora sim, separamos o limite em limites laterais:

lim t → 0 + ⁡ 1 2 t = " 1 0 + " = ∞   ; lim t → 0 - ⁡ 1 2 t = " 1 0 - " = - ∞

Resposta

lim t → 0 + ⁡ 1 2 t = ∞   ; lim t → 0 - ⁡ 1 2 t = - ∞

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