Um avião de caça sobrevoa uma cidade percorrendo uma trajetória retilínea conforme a figura baixo. Sua posição escalar sobre tal trajetória é uma função do tempo x ( t ) = 3 t - 2 ,   s e   t ≤ 1 e x t = t 3 , s e   t > 1 , onde t é o tempo medido em minutos. A distância entre o caça e a cidade é dada por y t = H 2 x 2 t  

  1. Calcule os limites laterais
  2. x 1 + h - x 1 h  

    E em seguida decida sobre a existência de x ' ( 1 )

  3. Determine a velocidade escalar do avião v t = x ' t , para cada t real
  4. Dada f z = H 2 + z 2 , encontre d d z f z
  5. Sabendo que y t = f x t , determine d d t y t
  6. Em quais instantes o avião se aproxima e em quais ele se afasta da cidade?

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Bora responder Aí essa questão?

Bom, é nos dado uma função por partes, o que é uma função por partes? Quando uma função vale um valor um intervalo e outro valor em outro intervalo, como essa que foi dada por exemplo:

x t = 3 t - 2 ,   s e   t ≤ 1   t 3   t > 1  

Veja como a função é uma num ponto e outra no outro. É sobre ela que vamos trabalhar.

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Para a)

Bom, temos já a nossa função, veja que quando por exemplo h tende a 0 pela esquerda temos um valor negativo e, portanto, menor que 1, e assim a função vale um valor. Já quando tende pela direita o valor é positivo e assim é maior que 1 usando a outra função.

Para o limite com 0 pela esquerda:

x 1 + h - x 1 h   = l i m h → 0 - x 1 + x h - x 1 h = l i m h → 0 - x h h

Substituindo, temos:

l i m h → 0 - x h h = l i m h → 0 - 3 h - 2 h

Veja que esse limite vai pro menos infinito quando 2 h com 0 indo pra 0. Bom, quando temos essa divergência podemos aplicar l’hospital. O que é? Quando derivamos em cima embaixo da função para verificarmos se há uma nova convergência. E o mais belo, o valor dessa derivada no ponto é o valor do limite no ponto.

Ou seja:

l i m h → 0 - 3 h - 2 h             l ' h o s p i t a l →   l i m h → 0 - 3 - 0 1 = 3

Ou então podemos derivar a própria função por partes. Por que? Por definição, sabemos que dois intervalos infinitesimalmente próximos, ou seja, quando a distância entre ambos h tende a 0, é chamado de derivada.

x ' t = 3 ,   s e   t ≤ 1   3 t 2   s e   t > 1  

E veja que se t=1 termos um valor de x ' ( t ) = 3 . Como esperávamos.

Para b)

Nós já provamos essa derivada no item anterior. Acertamos dois passos num só, porque elas se conectam. Assim:

v t = x ' t = 3 ,   s e   t ≤ 1   3 t 2   s e   t > 1  

Passo 3

Para c)

Temos então:

f z = H 2 + z 2

E nos pedem para calcular sua derivada com relação ao z, isto é: d f z d z . Bom, nós temos uma função composta, certo?! Nós temos uma função H 2 + z 2 dentro da função quadrática, assim a derivada de uma função composta é a derivada pela regra de cadeia. Assim:

d d z f z = d d z H 2 + z 2 = 1 2 H 2 + z 2 - 1 2 0 + 2 z = 2 z 2 H 2 + z 2 = z H 2 + z 2

Para d)

Primeiro precisamos destrinchar essa questão. Temos que f x t , assim:

f x t = H 2 + x 2 t

Assim podemos fazer o que nos foi pedido: calcular d d t f x t .

A mesma regra que usamos na última questão será usada nessa também, isto é, a regra de cadeia. Mas veja que agora nós temos uma função de t, dentro da função de x, que está dentro da função quadrática. Confuso né?! Vamos resolver isso

d d t f x t = d d t H 2 + x 2 t = 1 2 H 2 + x 2 t - 1 2 0 + 2 x t x ' t = 2 x t   x ' t 2 H 2 + x 2 t = x t   x ' t H 2 + x 2 t

Analisando a imagem, veja:

O avião se aproxima da cidade quando x=0. Lembra da função de x?

x t = 3 t - 2 ,   s e   t ≤ 1   t 3   t > 1  

X será 0 quando:

0 = 3 t - 2 → t = 2 3

E:

0 = t 3 = → t = 0

Assim se aproximará quando t ∈ 0,2 3 . E logo se afastará no tempo posterior a isso, certo? Ou seja t ∈   ] 2 / 3 , ∞ ]  

Obrigado por ficar até aqui, carinha. Até a próxima!

Resposta

Para a)

Os limites laterais existem, e vale 3 no ponto t=1

Para b)

v t = x ' t = 3 ,   s e   t ≤ 1   3 t 2   s e   t > 1  

Para c)

d d z f z = z H 2 + z 2

Para d)

d d t f x t = x t   x ' t H 2 + x 2 t

Para e)

se aproximará quando t ∈ 0,2 3 , se afastará em t ∈   ] 2 / 3 , ∞ ]  

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