Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Outras Indeterminações

Regra de L’Hospital

( b ) Calcule:

lim x → 0 + ⁡ 1 + 3 x 1 arctg ⁡ 2 x

Passo 1

Se a gente substitui o limite, olha como fica:

lim x → 0 + ⁡ 1 + 3 x 1 arctg ⁡ 2 x = 1 1 arctg ⁡ 0

= 1 ∞

Ora, indeterminação. Para fugir desse cara vamos usar uma propriedade entre exponencial e logaritmo para transformar essa indeterminação de expoente em uma indeterminação de quociente, assim poderemos usar L’Hospital. Se, para um a ,   b > 0 temos:

a = b log b ⁡ a

Podemos reescrever o termo:

lim x → 0 + ⁡ 1 + 3 x 1 arctg ⁡ 2 x = lim x → 0 + ⁡ e ln ⁡ 1 + 3 x 1 arctg ⁡ 2 x

= lim x → 0 + ⁡ e ln ⁡ 1 + 3 x arctg ⁡ 2 x

Substituindo o limite do expoente, temos:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ 1 + 3 x arctg ⁡ 2 x = ln ⁡ 1 arctg ⁡ 0 = 0 0

Indeterminação de quociente, podemos usar L’Hospital:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

No caso, podemos calcular o limite desse termo do expoente, que está indeterminado, para depois concluir que o limite inicial será e elevado a esse número encontrado.

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ 1 + 3 x arctg ⁡ 2 x → L ' H lim x → 0 + ⁡ 1 + 3 x ' 1 + 3 x 2 x ' 1 + 2 x 2

= lim x → 0 + ⁡ 3 1 + 3 x 2 1 + 4 x 2 = lim x → 0 + ⁡ 3 1 + 4 x 2 2 1 + 3 x

= 3 1 2 1 = 3 2

lim x → 0 + ⁡ 1 + 3 x 1 arctg ⁡ 2 x = e 3 2

Resposta

lim x → 0 + ⁡ 1 + 3 x 1 arctg ⁡ 2 x = e 3 2

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