3b) Avalie os limites abaixo e encontre o correspondente valor caso exista:

lim x → 0 + ⁡ x 3 ln ⁡ x

Passo 1

Bora lá então! Como todo limite, a primeira coisa que a gente tem que fazer é tentar substituir e ver o que acontece. Se der um número logo de cara a gente fecha a questão! Vamos ver como fica nesse caso:

lim x → 0 + ⁡ x 3 ln ⁡ x = 0 ∙ - ∞

Puts! Indeterminação! Não tem jeito, vamos ter que mexer no limite pra resolver ele! Mas ó, relaxa, que a gente consegue se livrar dessa indeterminação com essa manipulação esperta:

lim x → 0 + ⁡ x 3 ln ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x 1 x 3

No final das contas, é a mesma função, né não? Mas se eu substituir pra ver o que acontece, o tipo de indeterminação muda! Olha só:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x 1 x 3 = - ∞ + ∞

E opa! Essa indeterminação é clássica de L’Hospital! Podemos então derivar em cima e em baixo e resolver o limite!

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x 1 x 3 = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x ' 1 x 3 ' = lim x → 0 + ⁡ 1 x - 3 x 4

= lim x → 0 + ⁡ - x 4 3 x = lim x → 0 + ⁡ - x 3 3 = 0

Viu? Não só a indeterminação sumiu logo de cara como terminamos de resolver o limite! A resposta vai ser:

lim x → 0 + ⁡ x 3 ln ⁡ x = 0

Resposta

lim x → 0 + ⁡ x 3 ln ⁡ x = 0

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Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → ∞ x 1 / l n   x
Determine o limite: lim x → 0 + ⁡ 1 + 1 x x
Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → 0 + x 2 l n   x
Determine o limite: lim x → ∞ ⁡ x 2 + 1 x + 2 1 x