Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Outras Indeterminações

Encontre, se existirem, as assíntotas horizontas e verticais do gráfico da função.

f x = x 2 ln ⁡ x

Passo 1

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Resposta

Acho válido antes de partirmos para o vamos ver, dar uma relembrada nessas assíntotas. Sabemos que assíntotas são retas (verticais ou horizontais). Essas retas tem uma característica de a função sempre se aproximarem dela, mas nuca encostar-se a elas.

Exemplo de assíntotas:

  • Para averiguar calcular as possíveis assíntotas verticais, sempre buscamos um ponto onde a função pode dar problema, como no exemplo esse ponto é o x = 1 :
  • E calculemos o limite de x tendendo a esse ponto. Se o limite for para o infinito, ela tem uma assíntota vertical, saca?

  • Para averiguar a assíntota horizontal, como no exemplo 2 ...

Calculemos o limite da função indo para os infinitos. Se ela der um número... Esse número será a assíntota (nesse exemplo aí, a assíntota horizontal é o y = 5 )

Passo 2

Então primeiro calculemos as assíntotas verticais. Sabemos que a função que queremos no nosso caso...

f x = x 2 ln ⁡ x

Como o cara de dentro do l n deve ser maior que 0 ...

    x > 0

Então x = 0 é o nosso primeiro ponto a averiguar (então averiguemos apenas o lado direito afinal ele nem está definido no esquerdo)...

lim x → 0 + ⁡ x 2 ln ⁡ x

Passo 3

Para resolver esse limite, apenas note que quando x vai para 0 pela direita...

lim x → 0 + ⁡ x 2 ln ⁡ x =

Podemos derivar utilizando L’Hopital caso tenhamos uma indeterminação do tipo

0 0   o u ∞ ∞

Para isso, fazemos...

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x 1 x 2 =

Aplicando L’Hopital...

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x ' 1 x 2 ' =

lim x → 0 + ⁡ 1 x - 2 x 3 = lim x → 0 + ⁡ - 1 2 x 2 = 0

Como o limite quando x vai a 0 é um número e não ao infinito, não existe assíntotas verticais.

Passo 5

Agora então, busquemos as assíntotas horizontais (se existirem). Para isso, basta a gente aplicar o limite de x no infinito. Se aparecer algum número, esse número é a assíntota, saca?

lim x → + ∞ ⁡ x 2 ln ⁡ x =

Como l n vai ao infinito e x 2 também, o produto também vai, logo:

lim x → + ∞ ⁡ x 2 ln ⁡ x = + ∞

Deveríamos avaliar o limite no infinito negativo também, porém o l n não admite valores negativos. Então, como o único limite possível não deu um valor real, não existe assíntotas horizontais.

Resposta

Não existem assíntotas verticais e ou horizontais.

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