Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Outras Indeterminações

UFRJ - Cálculo 1 - P1 2009.2 - 1a.i

Calcule:

lim x → ∞ ⁡ e x - x 2

Passo 1

Como sempre, mostramos a indeterminação. Indo pela regra da soma/subtração de limites, chegamos na seguinte indeterminação:

lim x → ∞ ⁡ e x - x 2 ⟹ lim x → ∞ ⁡ e x - lim x → ∞ ⁡ x 2 ⟹ ∞ - ∞

Temos que contornar isso e chegar a uma indeterminação de L’Hôpital.

As nossas armas sempre envolvem produtos ou quocientes, portanto temos que forçar essa situação. Qual o jeito de fazer isso? Só tem dois, ou multiplicando por algo em cima e em baixo (denominador/divisor) ou pondo algo em evidência.

Por o x 2 em evidência parece ser interessante e prático:

lim x → ∞ ⁡ [ e x - x 2 ] = lim x → ∞ ⁡ x 2 e x x 2 - 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para tal, deixamos um termo em evidência:

lim x → ∞ ⁡ [ e x - x 2 ] = lim x → ∞ ⁡ x 2 e x x 2 - 1 ⟹ lim x → ∞ ⁡ x 2 ⋅ l i m x → ∞ e x x 2 - 1

Avaliando o limite da direita: lim x → ∞ ⁡ e x x 2 - 1 = l i m x → ∞ e x x 2 - 1 ; l i m x → ∞ e x x 2 ⟹ ∞ ∞

Por L’Hôpital:

l i m x → ∞ e x x 2 = l i m x → ∞ e x ' x 2 ' = lim x → ∞ ⁡ e x 2 x ⟹ ∞ ∞

Novamente:

… = lim x → ∞ ⁡ e x 2 x = lim x → ∞ ⁡ e x ' 2 x ' = lim x → ∞ ⁡ e x 2 = ∞

Portanto...

l i m x → ∞ x 2 e x x 2 - 1 = ∞

E:

lim x → ∞ ⁡ [ e x - x 2 ] = l i m x → ∞ x 2 e x x 2 - 1 ⟹ ∞ ⋅ ∞ = ∞

Isso também acontece porque a função e x cresce muito mais rapidamente que qualquer polinômio quando x → ∞ . Então e x   menos qualquer polinômio vai para infinito quando x tende a infinito.

Resposta

lim x → ∞ ⁡ [ e x - x 2 ] = ∞

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