Calcule os limites:

a   lim x → ∞ ⁡ x + 1 1 ln ⁡ x

Passo 1

Ao substituir x → ∞ chegamos a uma indeterminação do tipo ∞ 0

Vamos calcular o limite, portanto, usando a seguinte propriedade envolvendo a exponencial e a logarítmica para transformar essa indeterminação num quociente:

a = e ln ⁡ a

lim x → ∞ ⁡ x + 1 1 ln ⁡ x = lim x → ∞ ⁡ e ln ⁡ x + 1 1 ln ⁡ x

Vamos focar nesse limite que está no expoente do e e depois o jogamos aí quando chegarmos num resultado:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x + 1 1 ln ⁡ x = lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x + 1 1 ln ⁡ x

= lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x + 1 ln ⁡ x

Aqui podemos usar L’Hospital:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x + 1 ln ⁡ x → L ' H lim x → ∞ ⁡ 1 x + 1 1 x

= lim x → ∞ ⁡ x x + 1 = lim x → ∞ ⁡ 1 1 + 1 x

= 1

Resolvido isso, podemos voltar ao limite inicial como expoente:

lim x → ∞ ⁡ e ln ⁡ x + 1 1 ln ⁡ x = e 1 = e

Resposta

lim x → ∞ ⁡ x + 1 1 ln ⁡ x = e

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Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → ∞ x 1 / l n   x
Determine o limite: lim x → 0 + ⁡ 1 + 1 x x
Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → 0 + x 2 l n   x
Determine o limite: lim x → ∞ ⁡ x 2 + 1 x + 2 1 x