Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Outras Indeterminações

Q01b) Calcule

lim x → 0 + ⁡ 1 x x

Passo 1

Quando a gente olha pra limites, a primeira coisa sempre é substituir e ver o que acontece. Se fizermos isso, olha no que que dá:

lim x → 0 + ⁡ 1 x x = 1 0 + 0 = + ∞ 0

Eita, indeterminação! Pra sair dessa não tem jeito, vamos ter que manipular o limite. Uma boa estratégia é a gente olhar no fundo dos olhos da função e ver o seguinte: ela é definida por uma função de x elevada a outra função de x ! Hmmm, tive uma ideia então!

E se eu usar essa propriedade:

f x = e ln ⁡ f x

Com f x = 1 x x ? Vou acabar ficando com:

1 x x = e ln ⁡ 1 x x = e x ln ⁡ 1 x

E meu limite vai se tornar:

lim x → 0 + ⁡ 1 x x = lim x → 0 + ⁡ e x ln ⁡ 1 x = e lim x → 0 + ⁡ x ln ⁡ 1 x

Ai facilitou nossa vida, porque o limite que vamos calcular é o que tá em cima do e ! Bora lá então:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pra calcular o novo limite gerado, vamos precisar de criatividade. Saca só, se substituirmos direto:

lim x → 0 + ⁡ x ln ⁡ 1 x = 0 ∙ ln ⁡ 1 0 + = 0 ∙ ln ⁡ + ∞ = 0 ∙ + ∞

Também vamos cair numa indeterminação! Agora se fizermos a seguinte manupulação:

lim x → 0 + ⁡ x ln ⁡ 1 x = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ 1 x 1 x  

Ai a indeterminação fica de um tipo mais fácil de trabalhar. Substituindo direto:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ 1 x 1 x = ln ⁡ 1 0 + 1 0 + = ln ⁡ + ∞ + ∞ = + ∞ + ∞

Aí sim! Conseguimos usar Regra de L’Hospital! Realizando LH então vamos ter:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ 1 x 1 x = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ 1 x ' 1 x ' = lim x → 0 + ⁡ 1 1 x ∙ 1 x ' 1 x ' = lim x → 0 + ⁡ 1 1 x = lim x → 0 + ⁡ x = 0

Olha que maravilha! Lá se foi a indeterminação! Juntando tudo que fizemos:

lim x → 0 + ⁡ 1 x x = lim x → 0 + ⁡ e x ln ⁡ 1 x = e lim x → 0 + ⁡ x ln ⁡ 1 x

lim x → 0 + ⁡ x ln ⁡ 1 x = 0

Chegamos a conclusão que:

lim x → 0 + ⁡ 1 x x = e 0 = 1

Resposta

lim x → 0 + ⁡ 1 x x = 1

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