Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Outras Indeterminações

Calcule o limite

lim x → 0 + ⁡ tan ⁡ π x x

Passo 1

Se você substituir esse x = 0 no limite...

tan ⁡ π ⋅ 0 0 →       0 0

Você poderia pensar a um primeiro momento que a resposta seria 0 0 = 1 neh? Mas está errado! Veja que Veja que tanto a base quanto o expoente vão a 0 e isso não é um número, qualquer coisa pode acontecer ali, saca? Por isso é considerado uma indeterminação, assim como:

0 0         o u       ∞ ∞

A ideia aqui será justamente transformar essa indeterminação 0 0 em uma dessas 0 0 . Para plicarmos L’Hopital. Tá comigo nessa ?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para chegar em L’Hopital, podemos usar das propriedades logarítmicas, veja só:

e ln ⁡ b = b

Podemos transformar esse limite em

lim x → 0 + ⁡ tan ⁡ π x x = lim x → 0 + ⁡ e ln ⁡ tan ⁡ π x x

E usando essa outra propriedade dos logaritmos

ln ⁡ a b = b ln ⁡ a

O limite finalmente vira

lim x → 0 + ⁡ e x ln ⁡ ( tan ⁡ π x )

Como o termo do limite está apenas no expoente agora, podemos subir com o limite para lá:

e lim x → 0 + ⁡ x ln ⁡ ( tan ⁡ π x )

Vou dar um zoom nesse limite:

lim x → 0 + ⁡ x ln ⁡ ( tan ⁡ π x )

Passo 3

Para calcular esse limite, veja que podemos fazer...

lim x → 0 + ⁡ x ln ⁡ ( tan ⁡ π x ) = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ ( tan ⁡ π x ) 1 x

O legal de fazer isso é que substituindo o x por 0 , veja o que aparece:

ln ⁡ ( 0 ) 1 0 = ∞ ∞

Ou seja, podemos aplicar finalmente L’Hopital!

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ ( tan ⁡ π x ) 1 x = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ ( tan ⁡ π x ) ' 1 x '     →

lim x → 0 + ⁡ 1 ( tan ⁡ π x ) tan ⁡ π x ' - 1 x 2 →

Calculando essa derivada da tangente lembrando da regra da cadeia…

lim x → 0 + ⁡ 1 ( tan ⁡ π x ) ⋅ sec 2 ⁡ π x ⋅ π - 1 x 2 →      

Veja que podemos trabalhar um pouquinho a trigonometria aí oh:

lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ π x sin ⁡ π x ⋅ 1 cos 2 ⁡ π x ⋅ π - 1 x 2 →

lim x → 0 + ⁡ π sin ⁡ π x cos ⁡ π x - 1 x 2       →

Múltiplicando em cima e em baixo por dois:

lim x → 0 + ⁡ - 2 π x 2 2 sin ⁡ π x cos ⁡ π x       →

lim x → 0 + ⁡ - 2 π x 2 sin ⁡ 2 π x       →

Aplicando L’Hopital novamente:

- lim x → 0 + ⁡ 2 π x 2 ' sin ⁡ 2 π x ' = - lim x → 0 + ⁡ 2 π ⋅ 2 x cos ⁡ 2 π x ⋅ 2 π       →

Finalmente, visto que cosseno de 0 é 1 , ganhamos o resoltado

- lim x → 0 + ⁡ 2 x cos ⁡ 2 π x = 0

Passo 4

Tome cuidado! Pois ainda não terminamos. O limite que encontramos foi desse cara qui oh:

lim x → 0 + ⁡ x ln ⁡ tan ⁡ π x = 0

Então

lim x → 0 + ⁡ tan ⁡ π x x = lim x → 0 + ⁡ e x ln ⁡ tan ⁡ π x = e 0 = 1

Resposta

1

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