Calcule:

c   lim x → + ∞ ⁡ 1 + 2 x x

Passo 1

Ao substituir o limite cairíamos numa indeterminação de 0 0 . Para transformar a indeterminação de expoente numa indeterminação de quociente, aonde podemos usar L’Hospital, usamos a seguinte relação:

a = e ln ⁡ a

lim x → + ∞ ⁡ 1 + 2 x x = lim x → 0 + ⁡ e ln ⁡ 1 + 2 x x

= lim x → + ∞ ⁡ e x ln ⁡ 1 + 2 x

= lim x → + ∞ ⁡ e ln ⁡ 1 + 2 x 1 x

Vamos nos concentrar só no limite do expoente de e e depois voltamos para esse limite.

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + 2 x 1 x

Passo 2

Como esse limite do expoente vai gerar uma indeterminação de 0 0 podemos usar nosso queridíssimo L’Hospital:

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + 2 x 1 x → L ' H lim x → + ∞ ⁡ 1 + 2 x ' 1 + 2 x 1 x '

= lim x → + ∞ ⁡ - 2 x 2 1 + 2 x - 1 x 2

= lim x → + ∞ ⁡ 2 1 + 2 x = 2 1 + 0

= 2

Vamos voltar ao limite inicial então:

lim x → + ∞ ⁡ e ln ⁡ 1 + 2 x 1 x = e lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ 1 + 2 x 1 x

= e 2

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ 1 + 2 x x = e 2

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Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → ∞ x 1 / l n   x
Determine o limite: lim x → 0 + ⁡ 1 + 1 x x
Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → 0 + x 2 l n   x
Determine o limite: lim x → ∞ ⁡ x 2 + 1 x + 2 1 x