Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Outras Indeterminações

Calcule o limite:

lim x → ∞ ⁡ x 2 - 1 e - x 2

Passo 1

Chegou o momento que todos os alunos amam! (Acredite... Eu amo kkkkkk). A partir de agora vocês estarão aptos a fazer alguns limites muuuito mais rápido.

Agora... Infelizmente, não podemos utilizar esse teorema pra todos os casos, neh? Apenas se tivermos uma indeterminação do tipo

0 0           o u           ∞ ∞

No nosso caso, basta avaliar no limite...

x 2 - 1 e - x 2 = x 2 - 1 e x 2 = ∞ 2 - 1 e ∞ 2

= ∞ ∞

Ou seja... Podemos aplicar L’hopital . Bora lá?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então, esse teorema, como você deve se lembrar, iguala esse limite

lim x → ∞ ⁡ x 2 - 1 e - x 2 = lim x → ∞ ⁡ x 2 - 1 e x 2

com o limite da divisão da derivada de cima, pela derivada do de baixo, veja:

lim x → ∞ ⁡ x 2 - 1 e x 2 = lim x → ∞ ⁡ x 2 - 1 ' e x 2 '

Tome cuidado para não derivar utilizando a regra da fração, heim! L’hopital treme no túmulo, hehe.

Então vamos derivar!

Passo 3

Derivando em cima...

lim x → ∞ ⁡ x 2 - 1 ' e x 2 ' = lim x → ∞ ⁡ 2 x e x 2 ' =

E agora derivando em baixo não se esquecendo de aplicar a regra da cadeia...

lim x → ∞ ⁡ 2 x e x 2 ⋅ x 2 ' =

lim x → ∞ ⁡ 2 x 2 x e x 2 = lim x → ∞ ⁡ 1 e x 2

Quando x vai para o infinito, também vai a exponencial, então 1 dividido por algo que vai para o infinito...

lim x → ∞ ⁡ 1 e x 2 = 0

Por L’Hopital, eis a solução do nosso problema...

lim x → ∞ ⁡ x 2 - 1 e - x 2 = 0

Resposta

0

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