Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Outras Indeterminações

Calcule o limite

lim x → ∞ ⁡ cos ⁡ 2 x x 2

Passo 1

Muita calma nessa hora! Cara, vou te dar uma super dica: todo limite com alguma função elevada a outra, pode desconfiar de que teremos usar L’Hopital para matar o problema .

Mas sabemos já que para aplicar o L ' H o p i t a l , precisamos de uma indeterminação do tipo...

0 0           o u           ∞ ∞

Se você aplicar o valor do limite na função que estamos avaliando...

cos ⁡ 2 x x 2 = cos ⁡ 2 ∞ ∞ 2 = cos ⁡ 0 ∞

1 ∞

Tome cuidado! Pois o valor desse limite não é 1 ∞ = 1 ! Pois o que temos lá em cima do x 2 é uma função que varia também, então nada podemos afirmar sobre o limite, ok? Temos que considerar o 1 ∞ como uma indeterminação, portanto.

Porém, essa indeterminação não é a que a gente precisa . Todavia, podemos chegar à indeterminação que a gente quer...

0 0           o u           ∞ ∞

Vamos chegar aí fazendo alguns trabalhos algébricos. Então me siga!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como temos uma potenciação de funções... Vamos utilizar uma propriedade de potenciação legal que nos fala...

cos ⁡ 2 x x 2 = e ln ⁡ cos ⁡ 2 x x 2 =

Assim, podemos colocar aquele expoente multiplicando por propriedade logarítmica...

e x 2 ln ⁡ cos ⁡ 2 x

Aplicando o limite...

lim x → ∞ ⁡ cos ⁡ 2 x x 2 = lim x → ∞ ⁡ e x 2 ln ⁡ cos ⁡ 2 x

Cara, como a única coisa que depende de x é o expoente, podemos calcular um limite lá em cima e falar que...

lim x → ∞ ⁡ cos ⁡ 2 x x 2 = e lim   x → ∞ ⁡ x 2 ln ⁡ cos ⁡ 2 x

Sacou?

Então primeiro calculemos o limite desse expoente e depois substituímos aqui nesse limite que vou chamar de principal. ;)

Passo 3

Calculando então o limite do expoente...

lim   x → ∞ ⁡ x 2 ln ⁡ cos ⁡ 2 x

Bem, infelizmente... Se substituirmos o ponto nele, ainda não vai dar a indeterminação que queremos...

x 2 ln ⁡ cos ⁡ 2 x = ∞ 2 ln ⁡ cos ⁡ 2 ∞ =

∞ ⋅ ln ⁡ 1 =

∞ ⋅ 0

Repare que novamente não podemos considerar 0 ⋅ ∞ = 0 , pois é o produto de duas funções e não sabemos o que acontece na realidade. Então é uma indeterminação. Não a que a gente quer, mas ainda é uma indeterminação.

Lembre-se de que uma coisa do tipo...

∞ ⋅ 0 = 0 1 ∞ =

0 0

(Ah! Só um segredinho de aluno para aluno, fazer essa igualdade aí em cima não é certo matematicamente, pois infinito é só um conceito, fiz isso só para te mostrar como conseguiremos o que queremos ok?)

Enfim, esse último é justamente a indeterminação que buscamos, então...

lim   x → ∞ ⁡ x 2 ln ⁡ cos ⁡ 2 x = lim   x → ∞ ⁡ ln ⁡ cos ⁡ 2 x 1 x 2

E agora, com a indeterminação que queremos, podemos aplicar o Teorema...

lim   x → ∞ ⁡ ln ⁡ cos ⁡ 2 x 1 x 2 = lim   x → ∞ ⁡ ln ⁡ cos ⁡ 2 x ' 1 x 2 '

Passo 4

Derivando em cima e aplicando a regra da cadeia...

lim   x → ∞ ⁡ ln ⁡ cos ⁡ 2 x ' 1 x 2 ' =

lim   x → ∞ ⁡ 1 cos ⁡ 2 x ⋅ cos ⁡ 2 x ' 1 x 2 ' =

lim   x → ∞ ⁡ 1 cos ⁡ 2 x ⋅ - sin ⁡ 2 x ⋅ 2 x ' 1 x 2 ' =

lim   x → ∞ ⁡ 1 cos ⁡ 2 x ⋅ - sin ⁡ 2 x ⋅ - 2 x 2 1 x 2 ' =

lim   x → ∞ ⁡ 2 sin ⁡ 2 x x 2 cos ⁡ 2 x 1 x 2 '

Agora derivando em baixo também...

lim   x → ∞ ⁡ 2 sin ⁡ 2 x x 2 cos ⁡ 2 x - 2 x 3 = lim   x → ∞ ⁡ 2 sin ⁡ 2 x x 2 cos ⁡ 2 x - x 3 2 =

lim   x → ∞ ⁡ - x sin ⁡ 2 x cos ⁡ 2 x =

Como quando x vai para o infinito o cosseno do inverso dele vai para 1 (que não é 0 ;), então podemos fazer...

- l i m     x → ∞ x sin ⁡ 2 x l i m     x → ∞ cos ⁡ 2 x =

- l i m     x → ∞ x sin ⁡ 2 x 1 =

- l i m     x → ∞ x sin ⁡ 2 x =

Fazendo o truque de colocar o produto como uma fração ...

- lim x → ∞ ⁡ sin ⁡ 2 x 1 x

Cara, repare que esse limite parece um limite conhecido: o limite fundamental trigonométrico ( lim a → 0 ⁡ sin ⁡ a a = 1 ). A diferença é que temos que ter um 2 no lugar desse 1 na fração, então façamos o seguinte: Multiplicamos e dividimos por 2 ...

- lim x → ∞ ⁡ 2 2 ⋅ sin ⁡ 2 x 1 x =

- 2 lim x → ∞ ⁡ sin ⁡ 2 x 2 x

Agora, se fizermos uma substituição...

2 x = a                 ⇒                  

  x → ∞               e n t ã o                       a → 0

- 2 lim x → ∞ ⁡ sin ⁡ 2 x 2 x = - 2 lim a → 0 ⁡ sin ⁡ a a = - 2 1 =

- 2

E esse é justamente o resultado do limite do expoente que buscávamos...

lim   x → ∞ ⁡ x 2 ln ⁡ cos ⁡ 2 x = - 2

Passo 5

Voltando para o limite que realmente queremos e vimos lá no passo 2 ...

lim x → ∞ ⁡ cos ⁡ 2 x x 2 = e lim   x → ∞ ⁡ x 2 ln ⁡ cos ⁡ 2 x

lim x → ∞ ⁡ cos ⁡ 2 x x 2 = e - 2

Eis que surge o resultado !

Resposta

e - 2

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