Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Outras Indeterminações

UNICAMP - Cálculo 1 - P2 2015 Noturno Sexta - 2 c

Calcule:

lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x 2 x

Passo 1

Como em todos os exemplos até agora, primeiro vamos mostrar a presença da indeterminação:

lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x 2 x ⟹ 0 0

Essa é uma indeterminação que dá para transformar em uma das indeterminações de L’Hôpital ( 0 / 0 e ∞ / ∞ ), mas para isso, precisamos de um pouco de cara-de-pau em algebrísmo:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Primeiro aplicamos a exponencial e o logaritmo natural:

sen ⁡ x 2 x = e ln ⁡ sen ⁡ x 2 x

Agora aplicamos as propriedades do logaritmo:

… = e ln ⁡ sen ⁡ x 2 x = e 2 x ⋅ ln ⁡ sen ⁡ x

Substituímos no limite:

lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x 2 x = lim x → 0 + ⁡ e 2 x ⋅ ln ⁡ sen ⁡ x

Passo 3

Como a função exponencial é contínua, jogamos o limite para dentro da exponencial:

e l i m x → 0 + 2 x ⋅ ln ⁡ sen ⁡ x

Olhando para aquele limite lá dentro da exponencial:

l i m x → 0 + 2 x ⋅ ln ⁡ sen ⁡ x ⟹ 0 ⋅ - ∞

Para chegar a indeterminação de L’Hôpital, precisamos jogar uma das funções para baixo:

l i m x → 0 + 2 x ⋅ ln ⁡ sen ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ sen ⁡ x 1 / 2 x ⟹ - ∞ ∞

Agora podemos aplicar L’Hôpital

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ sen ⁡ x 1 / 2 x = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ sen ⁡ x ' 1 / 2 x '

Para o numerador, usamos a regra da cadeia:

ln ⁡ sen ⁡ x ' = 1 sen ⁡ x ⋅ sen ⁡ x ' = cos ⁡ x sen ⁡ x

Para o denominador:

1 2 x ' = - 1 2 x 2 ⟹ 1 1 / 2 x ' = - 2 x ²

Substituindo como pilha em controle remoto (apertar o botão fortemente não funciona):

… = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ sen ⁡ x ' 1 / 2 x ' = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ sen ⁡ x ' 1 1 / 2 x ' = l i m x → 0 + - 2 x ² cos ⁡ x sen ⁡ x

Antes de sair tentando aplicar L’Hôpital de novo, veja que:

l i m x → 0 + - 2 x ² cos ⁡ x sen ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ x x sen ⁡ x - 2 x = l i m x → 0 + cos ⁡ x ⋅ l i m x → 0 + x sen ⁡ x ⋅ l i m x → 0 + - 2 x

Sabendo que:

lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x x = 1   l i m i t e   f u n d . ;   l i m x → 0 + cos ⁡ x = cos ⁡ 0 = 1 ;   l i m x → 0 + - 2 x = - 2 ⋅ 0 = 0

Então...

Sim!

… = lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ x x sen ⁡ x - 2 x = 1 ⋅ 1 ⋅ 0 = 0

Não pode esquecer que o limite estava como expoente (não vai dar esse mole não prova, hein?!):

lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x 2 x = e 0 = 1

Resposta

lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x 2 x = 1

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