Calcule:

b   lim x → 0 + ⁡ x sen ⁡ x

Passo 1

Ao substituir o limite cairíamos numa indeterminação de 0 0 . Para transformar a indeterminação de expoente numa indeterminação de quociente, aonde podemos usar L’Hospital, usamos a seguinte relação:

a = e ln ⁡ a

lim x → 0 + ⁡ x sen ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ e ln ⁡ x sen ⁡ x

= lim x → 0 + ⁡ e sen ⁡ x ln ⁡ x

= lim x → 0 + ⁡ e ln ⁡ x cossec ⁡ x

Vamos nos concentrar só no limite do expoente de e e depois voltamos para esse limite.

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x cossec ⁡ x

Passo 2

Nele, temos uma indeterminação do tipo - ∞ ∞ . Usamos L’Hospital, portanto:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x cossec ⁡ x → L ' H lim x → 0 + ⁡ 1 x - cossec ⁡ x cotg ⁡ x

= lim x → 0 + ⁡ 1 x - 1 sen ⁡ x cos ⁡ x sen ⁡ x

= lim x → 0 + ⁡ sen 2 ⁡ x x cos ⁡ x

Sabemos que para x → 0 temos o seguinte:

lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x x = 1   ( l i m i t e   f u n d . )

lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ x = 1

Assim,

lim x → 0 + ⁡ sen 2 ⁡ x x cos ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x x 1 cos ⁡ x sen ⁡ x

= 1 1 lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x

= 1 0

= 0

Voltando agora ao limite inicial, temos:

lim x → 0 + ⁡ e ln ⁡ x cossec ⁡ x = e lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x cossec ⁡ x = e 0

= 1

Resposta

lim x → 0 + ⁡ x sen ⁡ x = 1

Exercícios de Livros Relacionados

Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → ∞ x 1 / l n   x
Determine o limite: lim x → 0 + ⁡ 1 + 1 x x
Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → 0 + x 2 l n   x
Determine o limite: lim x → ∞ ⁡ x 2 + 1 x + 2 1 x