Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Outras Indeterminações

Calcule o seguinte limite caso exista:

lim x → 0 ⁡ 2 x arctan ⁡ x - ln ⁡ ( x 2 + 1 ) x ²

Passo 1

Fazendo a substituição, cairemos na indeterminação

lim x → 0 ⁡ 2 x arctan ⁡ x - ln ⁡ ( x 2 + 1 ) x ² = 0 0

Podemos ajeitar essa indeterminação para chegar numa forma de usar a Regra de L’Hopital.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Primeiro iremos separar a expressão em duas frações.

lim x → 0 ⁡ 2 x arctan ⁡ x x ² - ln ⁡ ( x 2 + 1 ) x ² =

lim x → 0 ⁡ 2 arctan ⁡ x x - ln ⁡ ( x 2 + 1 ) x ²

Agora podemos separar em dois limites distintos:

lim x → 0 ⁡ 2 arctan ⁡ x x - l i m x → 0 ln ⁡ ( x 2 + 1 ) x ²

Passo 3

Substituindo x em lim x → 0 ⁡ 2 arctan ⁡ x x :

lim x → 0 ⁡ 2 arctan �� x x = 0 0

Assim podemos aplicar L’Hopital:

lim x → 0 ⁡ 2 1 1 + x ² 1 =

lim x → 0 ⁡ 2 1 + x ² = 2 1 + 0 ² = 2

Passo 4

Agora realizaremos o mesmo procedimento do Passo 3 com o limite

l i m x → 0 ln ⁡ ( x 2 + 1 ) x ²

Substituindo:

l i m x → 0 ln ⁡ ( x 2 + 1 ) x ² = ln ⁡ 1 0 2 = 0 0

Podemos aplicar L’Hopital.

l i m x → 0 1 x 2 + 1 ( x 2 + 1 ) ' 2 x =

l i m x → 0 1 x 2 + 1 ( 2 x + 0 ) 2 x =

l i m x → 0 2 x x 2 + 1 2 x =

l i m x → 0 2 x 2 x ( x 2 + 1 ) =

l i m x → 0 1 x 2 + 1 = 1 0 2 + 1 = 1

Passo 5

Finalmente, podemos concluir a questão fazendo

lim x → 0 ⁡ 2 arctan ⁡ x x - l i m x → 0 ln ⁡ x 2 + 1 x 2 = 2 - 1 = 1

Resposta

1

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