Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Outras Indeterminações

Regra de L’Hospital

Calcule o seguinte limite:

lim x → 1 - ⁡ 2 - x tg ⁡ π 2 x

Passo 1

Começamos substituindo o limite do x :

lim x → 1 - ⁡ 2 - x tg ⁡ π 2 x = lim x → 1 - ⁡ 2 - 1 tg ⁡ π 2 = 1 ∞

Essa é uma indeterminação, que pede uma resolução bem característica, com aquele e de exponencial:

lim x → 1 - ⁡ 2 - x tg ⁡ π 2 x = lim x → 1 - ⁡ e ln ⁡ 2 - x tg ⁡ π 2 x = lim x → 1 - ⁡ e tg ⁡ π 2 x ln ⁡ 2 - x

Esquecemos do e por um instante, vamos calcular o limite só do que está no expoente e depois colocamos elevando no e . Se eu achar uma indeterminação com quociente posso usar L’Hospital e

lim x → 1 - ⁡ tg ⁡ π 2 x ln ⁡ 2 - x = lim x → 1 - ⁡ ln ⁡ 2 - x cotg ⁡ π 2 x = 0 0

Pronto, nesse cara já podemos usar L’Hospital:

lim x → 1 - ⁡ ln ⁡ 2 - x cotg ⁡ π 2 x ⇒ L ' H lim x → 1 - ⁡ [ ln ⁡ 2 - x ] ' cotg ⁡ π 2 x ' = lim x → 1 - ⁡ - 1 2 - x - π 2 cossec 2 ⁡ π x 2

Nesse cara podemos já substituir e matar esse aí:

lim x → 1 - ⁡ - 1 2 - x - π 2 cossec 2 ⁡ π x 2 = - 1 2 - 1 - π 2 cossec 2 ⁡ π 2 = - sen 2 ⁡ π 2 - π 2 = 2 π

Agora, joga isso no expoente, como combinamos lá no início:

lim x → 1 - ⁡ e tg ⁡ π 2 x ln ⁡ 2 - x = e 2 π

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Resposta

lim x → 1 - ⁡ 2 - x tg ⁡ π 2 x = e 2 π

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