Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Outras Indeterminações

Regra de L’Hospital

Calcule os limites:

c   lim x → 0 + ⁡ 5 x + 2 x 1 x

Passo 1

Esse é aquele caso clássico da indeterminação no expoente:

lim x → 0 + ⁡ 5 x + 2 x 1 x = 1 ∞

Para fugir dele vamos fazer assim, usamos essa relação com a função do limite:

a = e ln ⁡ a

Ou seja,

5 x + 2 x 1 x = e ln ⁡ 5 x + 2 x 1 x = e ln ⁡ 5 x + 2 x x

lim x → 0 + ⁡ 5 x + 2 x 1 x = lim x → 0 + ⁡ e ln ⁡ 5 x + 2 x x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos concentrar no limite desse expoente:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ 5 x + 2 x x = 0 0

L’Hospital nesse cara!

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ 5 x + 2 x x → L ' H lim x → 0 + ⁡ 5 x + 2 x ' 5 x + 2 x 1

= lim x → 0 + ⁡ 5 x ln ⁡ 5 + 2 5 x + 2 x

= 5 0 ln ⁡ 5 + 2 5 0 + 2 0

= ln ⁡ 5 + 2

Passo 3

Agora vamos jogar esse limite na exponencial.

lim x → 0 + ⁡ 5 x + 2 x 1 x = lim x → 0 + ⁡ e ln ⁡ 5 x + 2 x x

= e ln ⁡ 5 + 2

= ( e ln ⁡ 5 ) ( e 2 )

= 5 e 2

Resposta

lim x → 0 + ⁡ 5 x + 2 x 1 x = 5 e 2

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