Calcule, se existirem, os limites abaixo

lim x → ∞ ⁡ x 2 + 1 - x 2 - 1  

Passo 1

Um primeiro passo antes de tentarmos fazer qualquer rearranjo, é aplicar direto o limite que é dado na questão.

lim x → ∞ ⁡ x 2 + 1 - x 2 - 1   = ∞ - ∞

Opa, deu indeterminação!! Então a gente vai precisar fazer rearranjo nessa situação. E como vamos fazer isso? Uma coisinha que existe na vida pra FACILITAR é a regra de L’Hopital. Basicamente é: deriva a função até tirar a indeterminação hahah

Então bora fazer isso aí!!!

Passo 2

Vem comigo e vamos derivar essa função!

d d x x 2 + 1 1 2 - d d x x 2 - 1 1 2

d d x x 2 + 1 1 2 = 1 2 x 2 + 1 - 1 2 2 x = x x 2 + 1 1 2

d d x x 2 - 1 1 2 = 1 2 x 2 - 1 - 1 2 2 x = x x 2 - 1 1 2

Substituindo temos:

lim x → ∞ ⁡ x x 2 + 1 - x x 2 - 1

Note que isso mais uma vez dará indeterminação, pois vamos ter ∞ ∞ - ∞ ∞ . Mas calma, perceba que temos um polinômio no numerador e denominador, e quando isso acontece, isso pode ser um bom sinal de que um caminho legal de seguir é colocar a maior potência em evidência pra ver o que acontece.

Passo 3

Então vamos fazer exatamente isso, vamos colocar o x 2 em evidência no denominador e depois aplicar o limite.

x x 2 1 + 1 x 2 - x x 2 1 - 1 x 2 = x x 1 + 1 x 2 - x x 1 - 1 x 2 = 1 1 + 1 x 2 - 1 1 - 1 x 2

l i m x → ∞ 1 1 + 1 x 2 - 1 1 - 1 x 2 = 1 1 - 1 1 = 0

E fim! Hahaha

Resposta

lim x → ∞ ⁡ x 2 + 1 - x 2 - 1   = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → ∞ x 1 / l nx
Determine o limite:underset(x - 0^+)(lim) (1 + (1)/(x))^x
Determine o limite:underset(x - oo)(lim) ((x^2 + 1)/(x + 2))^((1)/(x))
Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → 0 + x 2 l nx
Encontre o limite. Use a regra de L’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a regra de L’Hôspital não se aplicar, o porquê. l i m x → 0 x x - 1 ln