Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Outras Indeterminações

Regra de L’Hospital

( b ) Calcule, caso exista, lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x .

Passo 1

Vamos substituir esse limite aí:

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x = 1 - cos ⁡ 0 0 = 0 0

Para fugir dessa indeterminação devemos usar a propriedade da exponencial com o logaritmo, transformando essa indeterminação de expoente em uma indeterminação de quociente:

lim x → 0 ⁡ e ln ⁡ 1 - cos ⁡ x x = lim x → 0 ⁡ e x ln ⁡ 1 - cos ⁡ x

Vamos concentrar no limite que aparece no expoente de e , após resolvê-lo voltamos a esse termo:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 1 - cos ⁡ x 1 x = lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x ' 1 - cos ⁡ x - 1 x 2

= lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x 1 - cos ⁡ x - 1 x 2 = lim x → 0 ⁡ - sen ⁡ x ( x 2 ) 1 - cos ⁡ x

Para sair dessa situação vou multiplicar o termo por 1 + cos ⁡ x em cima e embaixo, para acabar gerando um termo 1 - cos 2 ⁡ x = sen 2 ⁡ x no denominador:

lim x → 0 ⁡ - sen ⁡ x x 2 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x = lim x → 0 ⁡ - sen ⁡ x x 2 1 + cos ⁡ x sen 2 ⁡ x

= lim x → 0 ⁡ - x sen ⁡ x ( x ) 1 + cos ⁡ x

O primeiro termo, com o seno no denominador é o inverso do limite fundamental: vai valer 1 ; o x vai para 0 ; o terceiro termo, ( 1 + cos ⁡ x ) vai para 1 + 1 = 2 . Assim:

lim x → 0 ⁡ - x sen ⁡ x x 1 + cos ⁡ x = - 1 0 2

= 0

Enfim, concluímos que o limite inicial irá para e elevado ao resultado que achamos:

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x = lim x → 0 ⁡ e ln ⁡ 1 - cos ⁡ x x

= e 0 = 1

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Resposta

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x = 1

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