Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Outras Indeterminações

Calcule o seguinte limite :

lim x → 0 ⁡ 1 + x 2 x

Passo 1

Substituindo x = 0 no limite:

lim x → 0 ⁡ 1 + x 2 x = lim x → 0 ⁡ 1 + 0 2 0 = 1 ∞

Opa, 1 ∞ é indeterminação! Vamos ter que fazer aquela manipulação malandra com exponencial e logaritmo. :)

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Passo 2

Temos que

1 + x 2 x = e ln ⁡ 1 + x 2 x = e 2 x ln ⁡ 1 + x

Aplicando o limite:

lim x → 0 ⁡ 1 + x 2 x = lim x → 0 ⁡ e 2 x ln ⁡ 1 + x

Passando o limite pra dentro da exponencial, dá:

e lim x → 0 ⁡ 2 x ln ⁡ 1 + x

Então agora nos restou calcular esse limite aí:

lim x → 0 ⁡ 2 x ln ⁡ 1 + x = lim x → 0 ⁡ 2 ln ⁡ 1 + x x

Passo 3

Substituindo x = 0 :

lim x → 0 ⁡ 2 ln ⁡ 1 + x x = 2 ln ⁡ 1 0 = 0 0

Show, 0 / 0 podemos aplicar l’Hôpital! Vamos ter

lim x → 0 ⁡ 2 ln ⁡ 1 + x x = lim x → 0 ⁡ 2 1 1 + x 1

= lim x → 0 ⁡ 2 1 + x = 2 1 + 0 = 2

Passo 4

Mas calma que ainda não acabou! Vimos que

lim x → 0 ⁡ 2 x ln ⁡ 1 + x = 2

Mas o limite que a questão pediu foi

e lim x → 0 ⁡ 2 x ln ⁡ 1 + x

Ou seja, vamos ter simplesmente:

e lim x → 0 ⁡ 2 x ln ⁡ 1 + x = e 2

Resposta

e 2

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