Calcule o limite:

lim x → 0 ⁡ e x + x 1 x

Passo 1

Novamente, vamos mostrar a indeterminação:

lim x → 0 ⁡ e x + x 1 x ⟹ ( l i m x → 0   e x + l i m x → 0   x ) l i m x → 0   1 x ⟹ 1 ∞

E chegamos numa já conhecida indeterminação. Nossa única alternativa é manipular algebricamente a função, de forma que possamos transformar a indeterminação num tipo 0 / 0 ou ∞ / ∞ de forma que podemos aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro aplicamos a exponencial e o logaritmo natural:

e x + x 1 x = e ln ⁡ e x + x 1 / x

Agora aplicamos as propriedades do logaritmo:

e ln ⁡ e x + x 1 / x = e 1 x ln ⁡ e x + x

Substituímos no limite:

lim x → 0 ⁡ e x + x 1 x = lim x → 0 ⁡ e ln ⁡ e x + x x

Passo 3

Como a função exponencial é contínua, jogamos o limite para dentro da exponencial:

lim x → 0 + ⁡ e ln ⁡ e x + x x = e lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ e x + x x

Calculando primeiro o limite:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ e x + x x ⟹ 0 0

Agora podemos aplicar L’Hôpital. É importante não esquecer que esse cara é o expoente de e então o que acharmos para esse limite temos que colocar como expoente de e .

Passo 4

Vamos a esse limite,

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ e x + x x = lim x → 0 ⁡ ln ⁡ e x + x ' x ' = lim x → 0 ⁡ e x + x ' e x + x 1 = lim x → 0 ⁡ e x + x ' e x + x

Para a derivada do numerador, usamos a regra da cadeia:

ln ⁡ e x + x ' = 1 e x + x ⋅ e x + x ' = e x + 1 e x + x  

Então o limite, substituindo:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ e x + x ' x ' = lim x → 0 ⁡ ln ⁡ e x + x ' ⋅ 1 x ' = l i m x → 0 e x + 1 e x + x ⋅ 1 1

= l i m x → 0 e x + 1 e x + x = ( e 0 + 1 ) e 0 + 0   = 2 1 = 2

Assim:

lim x → 0 ⁡ e x + x 1 x = e lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ e x + x x = e 2

Resposta

lim x → 0 ⁡ e x + x 1 x = e 2

Exercícios de Livros Relacionados

Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → ∞ x 1 / l n   x
Determine o limite: lim x → 0 + ⁡ 1 + 1 x x
Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → 0 + x 2 l n   x
Determine o limite: lim x → ∞ ⁡ x 2 + 1 x + 2 1 x