Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Outras Indeterminações

Calcule o seguinte limite:

lim x → 0 + ⁡ x 1 - cos ⁡ x

Passo 1

A primeira coisa a fazer, como em todo limite, é substituir o valor da função no ponto:

lim x → 0 + ⁡ x 1 - cos ⁡ x = 0 1 - cos ⁡ 0 = 0 0

Essa é uma indeterminação típica de L’Hôpital. Vamos então manipulá-la para aplicar a técnica.

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Passo 2

Para poder aplicar a técnica, precisamos de uma indeterminação do tipo 0 / 0 ou ∞ / ∞ . Para chegar lá, vamos aplicar e l n :

lim x → 0 + ⁡ x 1 - cos ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ e ln ⁡ x 1 - cos ⁡ x

Aplicando a propriedade do peteleco, jogando o 1 - cos ⁡ x da potência para o produto:

lim x → 0 + ⁡ e ln ⁡ x 1 - cos ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ e 1 - cos ⁡ x ⋅ ln ⁡ x

Usando a propriedade do limite e continuidade, jogamos o limite para dentro da exponencial: lim x → 0 + ⁡ e 1 - cos ⁡ x ⋅ ln ⁡ x = e l i m x → 0 + 1 - cos ⁡ x ⋅ ln ⁡ x

Agora vamos calcular esse limite de dentro e depois substituir seu valor na exponencial.

Passo 3

Substituindo o valor no ponto:

l i m x → 0 + 1 - cos ⁡ x ⋅ ln ⁡ x = 0 ⋅ - ∞

Para chegar em 0 / 0 ou ∞ / ∞ . Podemos jogar 1 - cos ⁡ x para baixo, dividindo:

l i m x → 0 + 1 - cos ⁡ x ⋅ ln ⁡ x = l i m x → 0 + ln ⁡ x 1 / 1 - cos ⁡ x = - ∞ ∞

Pronto, agora podemos aplicar L’Hôpital!

Passo 4

Para aplicar, vamos derivar em cima e em baixo:

l i m x → 0 + ln ⁡ x 1 / 1 - cos ⁡ x ⟹ L H l i m x → 0 + ln ⁡ x ' 1 / 1 - cos ⁡ x '

Sendo:

ln ⁡ x ' = 1 x

E, pela regra da cadeia: 1 1 - cos ⁡ x ' = d 1 / u d u ⋅ d u d x

d 1 / u d u = 1 u ' = - 1 u 2 = - 1 1 - cos ⁡ x 2

d u d x = 1 - cos ⁡ x ' = sen ⁡ x

Ficando:

1 1 - cos ⁡ x ' = sen ⁡ x 1 - cos ⁡ x 2

Substituindo tudo:

l i m x → 0 + ln ⁡ x ' 1 / 1 - cos ⁡ x ' = l i m x → 0 + 1 / x sen ⁡ x 1 - cos ⁡ x 2 = l i m x → 0 + 1 - cos ⁡ x 2 x sen ⁡ x = 0 0

Passo 5

Ainda temos uma indeterminação, então vamos aplicar L’Hôpital novamente:

l i m x → 0 + 1 - cos ⁡ x 2 x sen ⁡ x ⟹ L H l i m x → 0 + 1 - cos ⁡ x 2 ' x sen ⁡ x '

Sendo:

1 - cos ⁡ x 2 ' = 1 - 2 cos ⁡ x + cos 2 ⁡ x ' = + 2 sen ⁡ x - 2 cos ⁡ x sen ⁡ x

E, pela regra do produto:

x sen ⁡ x ' = sen ⁡ x + x cos ⁡ x

Ficando: l i m x → 0 + 1 - cos ⁡ x ' x sen ⁡ x ' = l i m x → 0 + + 2 sen ⁡ x - 2 cos ⁡ x sen ⁡ x sen ⁡ x + x cos ⁡ x = 0 0

Passo 6

Vish, indeterminação novamente! Vamos aplicar L’Hôpital de novo.

l i m x → 0 + 2 sen ⁡ x - 2 cos ⁡ x sen ⁡ x sen ⁡ x + x cos ⁡ x ⟹ L H l i m x → 0 + 2 sen ⁡ x - 2 cos ⁡ x sen ⁡ x ' sen ⁡ x + x cos ⁡ x '

Sendo, pela regra do produto:

2 sen ⁡ x - 2 cos ⁡ x sen ⁡ x ' = 2 cos ⁡ x - 2 cos 2 ⁡ x + 2 sen 2 ⁡ x

E, pela regra do produto novamente: sen ⁡ x + x cos ⁡ x ' = cos ⁡ x + cos ⁡ x - x sen ⁡ x = 2 cos ⁡ x - x sen ⁡ x

Substituindo no limite:

l i m x → 0 + sen ⁡ x ' sen ⁡ x + x cos ⁡ x ' = l i m x → 0 + 2 cos ⁡ x - 2 cos 2 ⁡ x + 2 sen 2 ⁡ x 2 cos ⁡ x - x sen ⁡ x

= 2 cos ⁡ 0 - 2 cos 2 ⁡ 0 + 2 sen 2 ⁡ 0 2 cos ⁡ 0 - 0 ⋅ sen ⁡ 0 = 2 - 2 + 0 2 = 0

Passo 7

Essa é a resposta final? Não! Não podemos esquecer que esse limite aí é um expoente:

… = e l i m x → 0 + 1 - cos ⁡ x ⋅ ln ⁡ x = e 0 = 1

Essa é a resposta final!

Resposta

lim x → 0 + ⁡ x 1 - cos ⁡ x = 1

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