O limite l i m x → 0 + (   1   +   x ) 1 x   é uma indeterminação do tipo 1 ∞ . Ele pode ser calculado, observando-se que

( 1   +   x ) 1 x     =   e l n ( x   +   1 ) 1 x   =   e l n (   1   +   x ) x

Vimos no primeiro exercício que l i m x → 0 + l n   ( 1   +   x ) x   =   1 . Assim, como a função exponencial é contínua, temos que

l i m x → 0 + ( 1   +   x ) 1 x   = l i m x → 0 + e l n (   1   +   x   ) x   =   e l i m x → 0 + l n   ( 1   +   x ) x   =   e 1   =   e .  

Use a ideia acima para resolver os limites abaixo.

b )   l i m x → ∞ ( 1 +   2 x ) 1 2 l n ( x )

Passo 1

Fala aí, beleza?? Vamos para mais uma questãozinha!

A questão quer que resolvamos l i m x → ∞ ( 1 +   2 x ) 1 2 l n ( x ) e além disso, a questão já nos direciona para uma nova forma de resolver indeterminações, essa nova forma se baseia principalmente em uma propriedade do logaritmo que diz:

a l o g a x     =   x

Pois bora resolver devagarinho, como devemos começar??

Passo 2

Bom galerinhaaa, utilizando a dica que o enunciado nos deu vamos reescrever o nosso limite da seguinte forma:

l i m x → ∞ ( 1 +   2 x ) 1 2 l n ( x ) = l i m x → ∞ e l n ( 1 + 2 x ) 1 2 l n ( x ) =   e l i m x → ∞ l n ( 1 + 2 x ) 1 2 l n ( x ) =   e l i m x → ∞ 1 2 l n ( x ) ⋅ l n ( 1 + 2 x )  

  =   e l i m x → ∞ l n ( 1 + 2 x ) 2 l n ( x ) =   e 1 2 l i m x → ∞ l n ( 1 + 2 x ) l n ( x ) =   e 1 2 l i m x → ∞ l n ( 1 + 2 x ) l n ( x )

Agora precisaremos utilizar a Regra de L’Hôpital para nos auxiliar a encontrar aquele limite ali no expoente. Vamosss!

Passo 3

De acordo com a Regra de L’Hôpital:

l i m x → a f ( x ) g ( x )   = l i m x → a f ( x ) ' g ( x ) '   ,

Sendo f   e   g funções diferenciáveis em um intervalo ( a , b ) .

Sendo assim, aplicando essa regra no expoente de e do passo anterior obteremos que

1 2 l i m x → ∞ l n ( 1 + 2 x ) l n ( x )   =   1 2 l i m x → ∞ l n ( 1 + 2 x ) ' l n ( x ) '   =   1 2 l i m x → ∞ 2 1 + 2 x 1 x   =   1 2 l i m x → ∞ 2 x 1 + 2 x = 1 2 ⋅ 2 l i m x → ∞ x 1 + 2 x  

Passo 4

O grande truque agora é dividir tanto o numerador quanto o denominador de x 1 + 2 x por x , uma vez que como x tende ao infinito qualquer número dividido por um número giganteee (infinito) vai tender sempre a zero. Logo,

l i m x → ∞ x 1 + 2 x = l i m x → ∞ 1 1 x + 2 = l i m x → ∞ 1 l i m x → ∞ ( 1 x + 2 )   = 1 l i m x → ∞ 1 x + l i m x → ∞ 2 =   1 l i m x → ∞ 0   +   2 =   1 2

Ufaaa! Num é que deu certo! rs

Mas ainda não acabamos a nossa questão, lembrando que esse limite está no expoente de e .

Passo 5

Portanto pimpolhos, recapitulando a expressão encontrada no passo 2:

l i m x → ∞ ( 1 +   2 x ) 1 2 l n ( x ) =   e 1 2 l i m x → ∞ l n ( 1 + 2 x ) l n ( x )  

Tínhamos a missão de encontrar o valor do limite ali do expoente de e e com isso mataríamos a nossa questão. Bom o valor desse limite

  1 2 l i m x → ∞ l n ( 1 + 2 x ) l n ( x )   = 1 2  

Foi encontrado no passo 4, agora podemos finalizar a nossa questão afirmando que

l i m x → ∞ ( 1 +   2 x ) 1 2 l n ( x ) = e 1 2

Essa questão foi um pouco trabalhosa e não tão trivial, então cuidado com esse tipo de questão!

Bora treinar mais questões desse tipo para arrasarmos na prova! Beijinhos :)

Resposta

l i m x → ∞ ( 1 +   2 x ) 1 2 l n ( x ) = e 1 2

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