Calcule os limites:

a   lim x → 0 ⁡ 1 + 2 x 3 x

Passo 1

Se a gente substitui esse limite vamos chegar numa indeterminação de expoente:

lim x → 0 ⁡ 1 + 2 x 3 x = 1 ∞

Para transformá-la numa indeterminação de quociente e poder usar L’Hospital vamos usar a seguinte propriedade:

a = e ln ⁡ a

Ou seja,

lim x → 0 ⁡ 1 + 2 x 3 x = lim x → 0 ⁡ e ln ⁡ 1 + 2 x 3 x

= lim x → 0 ⁡ e 3 ln ⁡ 1 + 2 x x

Vamos concentrar no limite que aparece no expoente e, assim que chegarmos a um valor para ele, voltamos para essa equação.

Passo 2

Resolvemos o seguinte:

lim x → 0 ⁡ 3 ln ⁡ 1 + 2 x x = 0 0

lim x → 0 ⁡ 3 ln ⁡ 1 + 2 x x → L ' H lim x → 0 ⁡ 3 ln ⁡ 1 + 2 x ' x '

= lim x → 0 ⁡ 3 1 + 2 x ' 1 + 2 x 1 = lim x → 0 ⁡ 3 2 1 + 2 x

= 3 2 1 + 2 0 = 3 2 1

= 6

Assim, voltando para o limite do passo 1 :

lim x → 0 ⁡ e 3 ln ⁡ 1 + 2 x x = e 6

Resposta

lim x → 0 ⁡ 1 + 2 x 3 x = e 6

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Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → ∞ x 1 / l n   x
Determine o limite: lim x → 0 + ⁡ 1 + 1 x x
Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → 0 + x 2 l n   x
Determine o limite: lim x → ∞ ⁡ x 2 + 1 x + 2 1 x