Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Outras Indeterminações

Calcule os limites

lim x → ∞ ⁡ x tg ⁡ 2 x

Passo 1

( a ) Vamos começar substituindo esse cara.

lim x → ∞ ⁡ x tg ⁡ 2 x = ∞ tg ⁡ 2 ∞ = ∞ tg ⁡ 0

= ∞ 0

Indeterminação!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vou colocar tudo em um quociente:

lim x → ∞ ⁡ x tg ⁡ 2 x = lim x → ∞ ⁡ tg ⁡ 2 x 1 x

Continuamos com uma indeterminação. Podemos, assim, usar a Regra de L’Hospital:

lim x → ∞ ⁡ tg ⁡ 2 x 1 x → L ' H lim x → ∞ ⁡ tg ⁡ 2 x ' 1 x '

= lim x → ∞ ⁡ sec 2 ⁡ 2 x 2 x ' 1 x ' = lim x → ∞ ⁡ sec 2 ⁡ 2 x 2 1 x ' 1 x '

Cortamos o 1 x ' em cima e embaixo:

lim x → ∞ ⁡ sec 2 ⁡ 2 x 2 1 = lim x → ∞ ⁡ 2 sec 2 ⁡ 2 x

Basta substituir agora:

lim x → ∞ ⁡ 2 sec 2 ⁡ 2 x = 2 sec 2 ⁡ 2 ∞ = 2 sec 2 ⁡ 0 = 2 1 2

= 2

Resposta

lim x → ∞ ⁡ x tg ⁡ 2 x = 2

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