Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Outras Indeterminações

Regra de L’Hôspital

Calcule:

lim x → + ∞ ⁡ x π 2 - arctan ⁡ x

Passo 1

A primeira coisa é substituir o valor do x , mas como nesse caso o “valor” não é um número, e sim o infinito, basta avaliarmos os limites separados de cada função.

Temos que:

lim x → + ∞ ⁡ x = + ∞

lim x → + ∞ ⁡ π 2 - arctan ⁡ x = π 2 - lim x → + ∞ ⁡ arctan ⁡ x

π 2 - lim x → + ∞ ⁡ arctan ⁡ x = π 2 - π 2 = 0

Portanto, temos uma indeterminação do tipo ∞ ⋅ 0 . O jeito é transformar numa razão, pois nossa única alternativa é manipular algebricamente a função para que possamos aplicar L’Hôspital num tipo de indeterminação conveniente.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Podemos reescrever esse limite como

lim x → + ∞ ⁡ x π 2 - arctan ⁡ x = lim x → + ∞ ⁡ π 2 - arctan ⁡ x 1 / x

Como

lim x → + ∞ ⁡ 1 / x = 0

Teremos uma indeterminação do tipo 0 / 0 , e poderemos finalmente aplicar L’Hôspital.

Passo 3

Derivando em cima e em baixo:

lim x → + ∞ ⁡ π 2 - arctan ⁡ x 1 / x = lim x → + ∞ ⁡ π 2 - arctan ⁡ x ' 1 / x '

lim x → + ∞ ⁡ π 2 - arctan ⁡ x ' 1 / x ' = lim x → + ∞ ⁡ - 1 / ( x 2 + 1 ) - 1 / x 2

lim x → + ∞ ⁡ - 1 / ( x 2 + 1 ) - 1 / x 2 = lim x → + ∞ ⁡ x 2 x 2 + 1

Repare que continua tendo a indeterminação, porque

lim x → + ∞ ⁡ x 2 = + ∞

Passo 4

Como, neste caso, x está tendendo a infinito, podemos colocar a maior potência de x em evidência.

lim x → + ∞ ⁡ x 2 x 2 + 1 = lim x → + ∞ ⁡ x 2 x 2 ( 1 + 1 / x 2 )

lim x → + ∞ ⁡ x 2 x 2 ( 1 + 1 / x 2 ) = lim x → + ∞ ⁡ 1 1 + 1 / x 2

A vantagem que isso proporciona é que ele gera várias divisões por potências de x , que vão acabar dando todas zero, por conta do x estar crescendo para o infinito e além.

Passo 5

Pelas propriedades de limite

lim x → + ∞ ⁡ 1 1 + 1 / x 2 = 1 1 + lim x → + ∞ ⁡ 1 / x 2

1 1 + lim x → + ∞ ⁡ 1 / x 2 = 1 1 + 0 = 1

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ x π 2 - arctan ⁡ x = 1

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