O limite l i m x → 0 + (   1   +   x ) 1 x   é uma indeterminação do tipo 1 ∞ . Ele pode ser calculado, observando-se que

( 1   +   x ) 1 x     =   e l n ( x   +   1 ) 1 x   =   e l n (   1   +   x ) x

Vimos no primeiro exercício que l i m x → 0 + l n   ( 1   +   x ) x   =   1 . Assim, como a função exponencial é contínua, temos que

l i m x → 0 + ( 1   +   x ) 1 x   = l i m x → 0 + e l n (   1   +   x   ) x   =   e l i m x → 0 + l n   ( 1   +   x ) x   =   e 1   =   e .  

Use a ideia acima para resolver os limites abaixo.

a )   l i m x → 0 + x x

Passo 1

Ooi, gente bonita! Talvez quando vocês leram essa questão, ficaram meio…

Maas, aqui juntos vamos deixar ela com uma carinha mais amigável. Bora??

Então bora!!

A questão quer que resolvamos l i m x → 0 + x x e além disso, a questão já nos direciona para uma nova forma de resolver indeterminações, essa nova forma se baseia principalmente em uma propriedade do logaritmo que diz:

a l o g a x     =   x

Pois bora resolver devagarinho, como devemos começar??

Passo 2

Primeiro passo que vamos fazer é tentar resolver o limite normalmente, ou seja, apenas substituindo os valores.

l i m x → 0 + x x   =   l i m x → 0 + 0 0

Como vocês podem ver encontramos uma indeterminação, uma vez que não podemos determinar se o valor é 1 ou 0 . Dessa forma teremos que utilizar artifícios matemáticos para conseguir sair dessa indeterminação.

Passo 3

Vocês lembram de uma propriedade do logaritmo que foi citado no passo 1? Belezura, vamos utilizar essa ideia agora!

l i m x → 0 + x x   = l i m x → 0 + e l n   x x   =   l i m x → 0 + e x   l n   x  

Como e é uma constante, podemos jogar o limite para o expoente da seguinte forma:

l i m x → 0 + x x   =   l i m x → 0 + e x   l n   x   =   e l i m x → 0 + x   l n   x

Agora a nossa próxima missão é resolver o l i m x → 0 +   x   l n x

Passo 4

Xuxus, para resolver o limite anterior vamos utilizar a regra de L’Hôspital , entretanto, iremos manipular algebricamente a nossa expressão, isso porque se utilizássemos a regra de L’Hôspital de primeira iríamos recair novamente em uma indeterminação. Logo,

l i m x → 0 +   x   l n x   =   l i m x → 0 +   l n   x 1 x   = l i m x → 0 +   ( l n   x ) ' ( 1 x ) '   =   l i m x → 0 +   1 x - 1 x ²   = l i m x → 0 +   - x   =   0

Ainda não é a resposta final hein, temos que substituir esse valor encontrado na expressão do passo 3. Bora lá!

Passo 5

Recapitulando pessoal… Temos que encontrar o valor de   e l i m x → 0 + x   l n   x e até então já sabemos que l i m x → 0 +   x   l n x   =   0 . Agora só falta a cereja do bolo que é substituir esse valor 0 no expoente de e . Portanto, temos que:

l i m x → 0 + x x   =   e l i m x → 0 + x   l n   x =   e 0 = 1  

Eu sei que a questão parece complicadinha, mas eu te garanto que a prática vai te tornar um expert nesse assunto. Não desista!

Beijinhos :)

Resposta

l i m x → 0 + x x     =   1

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Encontre o limite. lim x → 0 ⁡ e x + x 1 x
Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → ∞ x 1 / l nx
Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → 0 + x 2 l nx
Determine o limite: lim x → 0 + ⁡ 1 + 1 x x
Determine o limite: lim x → ∞ ⁡ x 2 + 1 x + 2 1 x