Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Outras Indeterminações

Regra de L’Hospital

b Calcule:

lim x → 0 + ⁡ tg ⁡ x 1 ln ⁡ x

Passo 1

Ao substituir x → 0 + olha o que acontece no limite:

lim x → 0 + ⁡ tg ⁡ x 1 ln ⁡ x = tg ⁡ 0 1 ln ⁡ 0

= 0 1 - ∞ = 0 0

Essa é uma indeterminação! Para fugirmos dela vamos transformar essa indeterminação de expoente em uma de quociente para depois poder usar L’Hospital!

lim x → 0 + ⁡ tg ⁡ x 1 ln ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ e ln ⁡ tg ⁡ x 1 ln ⁡ 1 x

= lim x → 0 + ⁡ e ln ⁡ tg ⁡ x ln ⁡ x

Vamos concentra nesse limite que aparece no expoente da função acima. Assim que resolvermos podemos voltar o resultado para cá.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Resolvendo esse cara agora:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ tg ⁡ x ln ⁡ x → L ' H lim x → 0 + ⁡ tg ⁡ x ' tg ⁡ x x ' x

= lim x → 0 + ⁡ sec 2 ⁡ x tg ⁡ x 1 x

= lim x → 0 + ⁡ x 1 cos 2 ⁡ x sen ⁡ x cos ⁡ x

= lim x → 0 + ⁡ x sen ⁡ x 1 cos ⁡ x

O limite fundamental apareceu ali, vai para 1 :

lim x → 0 + ⁡ x sen ⁡ x 1 cos ⁡ x = 1 1

= 1

Passo 3

Voltando para o limite inicial:

lim x → 0 + ⁡ e ln ⁡ tg ⁡ x ln ⁡ x = e 1

= e

Resposta

lim x → 0 + ⁡ tg ⁡ x 1 ln ⁡ x = e

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