Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Outras Indeterminações

a Calcule

lim h → 0 + ⁡ h ln ⁡ sen ⁡ h

Passo 1

Temos uma indeterminação de produto quando substituímos o limite, acompanha:

lim h → 0 + ⁡ h ln ⁡ sen ⁡ h = 0 ln ⁡ sen ⁡ 0

= 0 ln ⁡ 0 + = 0 - ∞

Bom lembrar que ln ⁡ x é descontínuo em x = 0 , por isso o limite é lateral ali.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos transformar essa indeterminação em um quociente:

lim h → 0 + ⁡ h ln ⁡ sen ⁡ h = lim h → 0 + ⁡ ln ⁡ sen ⁡ h 1 h = - ∞ ∞

Agora podemos aplicar L’Hospital!

Passo 3

Fazendo L’Hospital:

lim h → 0 + ⁡ ln ⁡ sen ⁡ h 1 h → L ' H lim h → 0 + ⁡ ln ⁡ sen ⁡ h ' 1 h '

= lim h → 0 + ⁡ sen ⁡ h ' sen ⁡ h - 1 h 2 = lim h → 0 + ⁡ cos ⁡ h sen ⁡ h - 1 h 2

= lim h → 0 + ⁡ - h 2 cos ⁡ h sen ⁡ h

Podemos substituir o cosseno já:

lim h → 0 + ⁡ - h 2 cos ⁡ h sen ⁡ h = lim h → 0 + ⁡ - h 2 sen ⁡ h lim h → 0 + ⁡ cos ⁡ h

= lim h → 0 + ⁡ - h 2 sen ⁡ h cos ⁡ 0 = lim h → 0 + ⁡ - h 2 sen ⁡ h 1

= lim h → 0 + ⁡ - h 2 sen ⁡ h

Passo 4

Novamente, temos uma indeterminação de quociente:

lim h → 0 + ⁡ - h 2 sen ⁡ h = - 0 2 0 = - 0 0

Vamos de L’Hospital:

lim h → 0 + - ⁡ h 2 sen ⁡ h → L ' H lim h → 0 + ⁡ - h 2 ' sen ⁡ h ' = lim h → 0 + ⁡ - 2 h cos ⁡ h

= - 2 0 cos ⁡ 0 = - 0 1 = 0

Resolvido!

Resposta

lim h → 0 + ⁡ h ln ⁡ sen ⁡ h = 0

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