Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Outras Indeterminações

Calcule o limite

lim x → 0 + ⁡ sinh ⁡ x x 1 x

Passo 1

Reescrevendo usando propriedades do logarítimo natural

Esse limite ai parece complicado, não é mesmo? Mas bem, a gente consegue dar uma reduzida na dificuldade dele se lembrarmos de uma propriedade do logarítimo natural:

e ln ⁡ f x = f x

Ta, mas e daí? Como isso me ajuda? Ajuda se a gente definir f x = sinh ⁡ x x 1 x , quer ver? Saca só:

e ln ⁡ sinh ⁡ x x 1 x = sinh ⁡ x x 1 x

e ln ⁡ sinh ⁡ x x x = sinh ⁡ x x 1 x

Podemos reescrever o limite então como:

lim x → 0 + ⁡ sinh ⁡ x x 1 x =   lim x → 0 + ⁡ e ln ⁡ sinh ⁡ x x x

Ou ainda:

lim x → 0 + ⁡ sinh ⁡ x x 1 x = e lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ sinh ⁡ x x x  

Então se a gente conseguir achar o limite:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ sinh ⁡ x x x

Achamos o limite inicial, beleza? Vamos partir dai então.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Realizar L’Hospital no novo limite obtido

Opa, agora o limite ficou mais tranquilo um pouco. Até porque, conseguimos elimintar o expoente 1 x . Em troca, olha só o que ganhamos:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ sinh ⁡ x x x = 0 0

Olha só, olha lá! Uma indeterminação típica de L’Hospital. Derivando em cima e em baixo então vamos ter:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ sinh ⁡ x x x = lim x → 0 + ⁡ 1 sinh ⁡ x x sinh ⁡ x x ' 1 = lim x → 0 + ⁡ x sinh ⁡ x sinh ⁡ x x '

Ok ok, ainda ta complicado, eu sei! Até porque apareceu uma derivada dentro do limite. Pra gente resolver isso, vamos lembrar que:

sinh ⁡ x = e x - e - x 2

cosh ⁡ x = e x + e - x 2

E como o limite é tendendo a 0 + , é interessante a gente guardar na cachola também que:

sinh ⁡ 0 = e 0 - e - 0 2 = 1 - 1 2 = 0

cosh ⁡ 0 = e 0 + e - 0 2 = 1 + 1 2 = 1

A relacionando as derivadas das funções hiperbólicas:

sinh ⁡ x ' = cosh ⁡ x

cosh ⁡ x ' = sinh ⁡ x

Ok, agora que a gente pegou isso tudo sobre as funções hiperbólicas, vamos derivar aquele maluco dentro do limite:

sinh ⁡ x x ' = sinh ⁡ x ' x -   sinh ⁡ x x ' x 2

sinh ⁡ x x ' = x . cosh ⁡ x -   sinh ⁡ x x 2

Então o limite vai ficar:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ sinh ⁡ x x x = lim x → 0 + ⁡ x sinh ⁡ x sinh ⁡ x x '

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ sinh ⁡ x x x = lim x → 0 + ⁡ x sinh ⁡ x x . cosh ⁡ x -   sinh ⁡ x x 2

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ sinh ⁡ x x x = lim x → 0 + ⁡ x . cosh ⁡ x -   sinh ⁡ x x sinh ⁡ x

Passo 3

Resolver o último limite obtido

Pra resolver esse último limite obtido, vamos ter que usar as informações das funções hiperbólicas quando x = 0 . Seja o limite:

lim x → 0 + ⁡ x . cosh ⁡ x -   sinh ⁡ x x sinh ⁡ x

Substituindo x = 0 , vamos ter:

0 . 0 -   0 0 . 0 = 0 0

Outra indeterminação clássica de L’Hospital. Já que é assim, vamos derivar em cima e em baixo. O truque vai ser continuar a usar L’Hospital até que o denominador não zere. Realizando uma primeira vez:

lim x → 0 + ⁡ x . cosh ⁡ x -   sinh ⁡ x x sinh ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ cos h ⁡ x ' x +   cos h ⁡ x x ' - sinh ⁡ x ' sinh ⁡ x ' x +   sinh ⁡ x x '

lim x → 0 + ⁡ x . cosh ⁡ x -   sinh ⁡ x x sinh ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ x sinh ⁡ x +   cosh ⁡ x - cosh ⁡ x x . cosh ⁡ x +   sinh ⁡ x

lim x → 0 + ⁡ x . cosh ⁡ x -   sinh ⁡ x x sinh ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ x sinh ⁡ x x . cosh ⁡ x +   sinh ⁡ x

Ta, não foi agora. Substituindo x = 0 aí vamos continuar com uma indeterminação do tipo 0 0 . Vamos tentar outra vez então? Bora lá:

lim x → 0 + ⁡ x sinh ⁡ x x . cosh ⁡ x +   sinh ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ sinh ⁡ x ' x +   sinh ⁡ x x ' cosh ⁡ x ' x +   cosh ⁡ x x ' - sinh ⁡ x '

lim x → 0 + ⁡ x sinh ⁡ x x . cosh ⁡ x +   sinh ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ x . cosh ⁡ x +   sinh ⁡ x x sinh ⁡ x +   cosh ⁡ x + cosh ⁡ x

lim x → 0 + ⁡ x sinh ⁡ x x . cosh ⁡ x +   sinh ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ x . cosh ⁡ x +   sinh ⁡ x x sinh ⁡ x +   2 cosh ⁡ x

Opa, agora sim da pra aplicar o limite pela substituição. Substituindo x por 0 , vamos ter:

lim x → 0 + ⁡ x . cosh ⁡ x +   sinh ⁡ x x sinh ⁡ x +   2 cosh ⁡ x =   0 . cosh ⁡ 0 +   sinh ⁡ 0 0 . sinh ⁡ 0 +   2 cosh ⁡ 0 = 0 . 1 +   0 0 . 0 +   2 . 1 = 0 2 = 0

É, eu sei, isso tudo pra dar 0 . Mas acontece. Agora que finalmente calculamos o limite, vamos ver tudo que fizemos na ordem:

lim x → 0 + ⁡ sinh ⁡ x x 1 x = e lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ sinh ⁡ x x x

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ sinh ⁡ x x x = lim x → 0 + ⁡ x . cosh ⁡ x -   sinh ⁡ x x sinh ⁡ x

lim x → 0 + ⁡ x . cosh ⁡ x -   sinh ⁡ x x sinh ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ x sinh ⁡ x x . cosh ⁡ x +   sinh ⁡ x

lim x → 0 + ⁡ x sinh ⁡ x x . cosh ⁡ x +   sinh ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ x . cosh ⁡ x +   sinh ⁡ x x sinh ⁡ x +   2 cosh ⁡ x

lim x → 0 + ⁡ x . cosh ⁡ x +   sinh ⁡ x x sinh ⁡ x +   2 cosh ⁡ x = 0

Se lermos de trás pra frente, chegamos à:

lim x → 0 + ⁡ sinh ⁡ x x 1 x = e 0 = 1

Resposta

lim x → 0 + ⁡ sinh ⁡ x x 1 x = 1

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