Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Outras Indeterminações

Resolva:

lim x → 2 ⁡ x 2 - 3 cossec ⁡ 2 x - 4

Passo 1

A primeira coisa a fazer, como sempre, é substituir o valor no ponto:

lim x → 2 ⁡ x 2 - 3 cossec ⁡ 2 x - 4 = 1 cossec ⁡ 0 = 1 1 / sen ⁡ 0 = 1 ∞

Putz, temos uma indeterminação aqui, vamos ter que manipular isso aí para calcular esse limite.

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Passo 2

Essa indeterminação que temos é típica de uma indeterminação de L’Hôpital, mas só podemos aplica-lo quando temos 0 / 0 ou ∞ / ∞ . Então, vamos ter que manipular a nossa indeterminação para chegar nisso aí. Para tal, vamos aplicar e elevado a ln e usar a propriedade:

ln ⁡ a b = b ⋅ ln ⁡ a

Ficando:

lim x → 2 ⁡ x 2 - 3 cossec ⁡ 2 x - 4 = lim x → 2 ⁡ e ln ⁡ x 2 - 3 cossec ⁡ 2 x - 4 = l i m x → 2 e cossec ⁡ 2 x - 4 ⋅ ln ⁡ x 2 - 3

Como o e é sempre contínuo, podemos jogar o limite para dentro da exponencial: l i m x → 2 e cossec ⁡ 2 x - 4 ⋅ ln ⁡ x 2 - 3 = e l i m x → 2 cossec ⁡ 2 x - 4 ⋅ ln ⁡ x 2 - 3

Agora, vamos nos preocupar com esse limite da exponencial e depois voltar nela, ok?

Passo 3

Substituindo no ponto, vemos que: l i m x → 2 cossec ⁡ 2 x - 4 ⋅ ln ⁡ x 2 - 3 = cossec ⁡ 0 ⋅ ln ⁡ 1 = ∞ ⋅ 0

Putz, ainda não é a indeterminação que queremos, mas calma! Estamos perto. Lembre-se que:

cossec ⁡ 2 x - 4 = 1 sen ⁡ 2 x - 4

Pow, substituindo isso aí: l i m x → 2 cossec ⁡ 2 x - 4 ⋅ ln ⁡ x 2 - 3 = l i m x → 2 ln ⁡ x 2 - 3 sen ⁡ 2 x - 4

Que no ponto leva a: l i m x → 2 ln ⁡ x 2 - 3 sen ⁡ 2 x - 4 = 0 0

Passo 4

Ouooou! Chegamos na indeterminação de L’Hôpital e podemos agora aplica-lo. Para tal, vamos derivar em cima e embaixo usando a regra da cadeia:

l i m x → 2 ln ⁡ x 2 - 3 sen ⁡ 2 x - 4 = l i m x → 2 ln ⁡ x 2 - 3 ' sen ⁡ 2 x - 4 ' = l i m x → 2 1 x 2 - 3 ⋅ x 2 - 3 ' cos ⁡ 2 x - 4 ⋅ 2 x - 4 '

= l i m x → 2 2 x x 2 - 3 cos ⁡ 2 x - 4 ⋅ 2 = l i m x → 2 x x 2 - 3 cos ⁡ 2 x - 4

Substituindo no ponto como sempre fazemos:

l i m x → 2 x x 2 - 3 cos ⁡ 2 x - 4 = 2 1 ⋅ cos ⁡ 0 = 2

Opa! Achamos o limite, mas você não pode esquecer que isso aí estava lá na exponencial antes!

lim x → 2 ⁡ x 2 - 3 cossec ⁡ 2 x - 4 = e l i m x → 2 cossec ⁡ 2 x - 4 ⋅ ln ⁡ x 2 - 3 = e 2

Pronto!

Resposta

lim x → 2 ⁡ x 2 - 3 cossec ⁡ 2 x - 4 = e 2

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