Calcule os limites:

  lim x → 0 + ⁡ cotg ⁡ x - 1 x

Passo 1

( a ) Vamos começar substituindo esse cara. Para a cotangente, lembra que ela é o inverso da tangente e que tg ⁡ 0 = 0 . Para 0 + , a tangente é positiva, de modo que:

lim x → 0 + ⁡ cotg ⁡ x = + ∞

lim x → 0 + ⁡ cotg ⁡ x - 1 x = ∞ - ∞

Indeterminação!

Passo 2

Vou juntar tudo em um denominador só:

lim x → 0 + ⁡ cotg ⁡ x - 1 x = lim x → 0 + ⁡ x cotg ⁡ x - 1 x

Escrevendo cotg ⁡ x como cos ⁡ x sen ⁡ x :

lim x → 0 + ⁡ x cotg ⁡ x - 1 x = lim x → 0 + ⁡ x cos ⁡ x sen ⁡ x - 1 x

= lim x → 0 + ⁡ x cos ⁡ x - sen ⁡ x x sen ⁡ x

Passo 3

Continuamos com uma indeterminação. Podemos, assim, usar a Regra de L’Hospital:

lim x → 0 + ⁡ x cos ⁡ x - sen ⁡ x x sen ⁡ x → L ' H lim x → 0 + ⁡ x cos ⁡ x - sen ⁡ x ' x sen ⁡ x '

lim x → 0 + ⁡ ( cos ⁡ x - x sen ⁡ x - cos ⁡ x sen ⁡ x + x cos ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ - x sen ⁡ x sen ⁡ x + x cos ⁡ x

Ainda caímos em indeterminação ao substituir esse cara.

lim x → 0 + ⁡ - x sen ⁡ x sen ⁡ x + x cos ⁡ x = 0 0

Passo 4

Vamos aplicar L’Hospital de novo

lim x → 0 + ⁡ - x sen ⁡ x sen ⁡ x + x cos ⁡ x → L ' H lim x → 0 + ⁡ - x sen ⁡ x ' sen ⁡ x + x cos ⁡ x '

= lim x → 0 + ⁡ - sen ⁡ x - x cos ⁡ x cos ⁡ x + cos ⁡ x - x sen ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ - sen ⁡ x - x cos ⁡ x 2 cos ⁡ x - x sen ⁡ x

Substituindo x :

lim x → 0 + ⁡ - sen ⁡ x - x cos ⁡ x 2 cos ⁡ x - x sen ⁡ x = - sen ⁡ 0 + 0 cos ⁡ 0 2 cos ⁡ 0 - 0 sen ⁡ 0

= - 0 + 0 2 1 - 0 = - 0 2 = 0

Resposta

lim x → 0 + ⁡ cotg ⁡ x - 1 x = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → ∞ x 1 / l n   x
Determine o limite: lim x → 0 + ⁡ 1 + 1 x x
Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → 0 + x 2 l n   x
Determine o limite: lim x → ∞ ⁡ x 2 + 1 x + 2 1 x