Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Outras Indeterminações

a) Calcule os seguintes limites

    1 l n   x   - 1 x - 1  

Passo 1

Esse limite aí tem cara de dar uma indeterminação em! Como saber? Bom, a primeira coisa na hora de calcular limites sempre vai ser substituir e ver o que acontece. Bora lá:

    1 l n   x   - 1 x - 1   = 1 l n   1   - 1 1 - 1 = 1 0 - 1 0 = ∞ - ∞

Viu? Indeterminação! Já que não dá pra calcular direto, vamos tentar reescrever o limite primeiro. Como temos uma função menos a outra, e o limite é do tipo “ ∞ - ∞ ”, uma boa estratégia aqui vai ser unificar o denominador. Saca só:

    1 l n   x   - 1 x - 1   =     x - 1 x - 1 l n   x   - l n   x   x - 1 l n   x    

    1 l n   x   - 1 x - 1   =     x - 1 - l n   x   x - 1 l n   x    

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos então calcular esse limite reescrito. Bem, se a gente substituir, nada muda né, continuamos com indeterminação. Mas vamos tentar mesmo assim:

    x - 1 - l n   x   x - 1 l n   x     = 1 - 1 - l n   1   1 - 1 l n   1   = 0 0

E olha só! Pode até não ter dado certo a substituição, mas o tipo de indeterminação mudou! E quando temos esse tipo aí, vale L’Hospital em! Então realizando L’Hospital:

    x - 1 - l n   x   x - 1 l n   x     =     x - 1 - l n   x   ' x - 1 l n   x   '   =

Realizando no denominador a regra do produto:

=     1 - 1 x x - 1 ' l n   x   + x - 1 l n   x   '   =     1 - 1 x l n   x   + x - 1 x  

Será que a indeterminação sumiu? Bem, não tem jeito, só substituindo pra gente ver:

    1 - 1 x l n   x   + x - 1 x   = 1 - 1 1 l n   1   + 1 - 1 1 = 1 - 1 0 + 0 = 0 0

Eita, não sumiu. Mas bem, o tipo de indeterminação não mudou, né? Então bora fazer L’Hospital de novo:

    1 - 1 x l n   x   + x - 1 x   =     1 - 1 x ' l n   x   + x - 1 x '  

Vamos precisar da regra do quociente na derivada do denominador. Vamos ficar com:

    1 x 2 1 x + x - 1 ' x - x - 1 x ' x 2   =     1 x 2 1 x + x - x - 1 x 2   =     1 x 2 1 x + 1 x 2  

Agora sim sumiu em! Vamos substituir pra confirmar:

    1 x 2 1 x + 1 x 2   = 1 1 2 1 1 + 1 1 2 = 1 2

Resposta

    1 l n   x   - 1 x - 1   = 1 2

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas