Use a Regra de L'Hôspital e as propriedades para calcular os seguintes limites:(Justifique cada etapa do cálculo indicando as propriedades usadas).

(b) lim x → ∞ ⁡ x - ln ⁡ ( x 3 )

Passo 1

Faaaala, galeraaaa! Tudo belezinha?

Para resolver essa questão vamos relembrar as propriedades de limites. Veja abaixo.

Além dessas, temos propriedades mais específicas, mostradas abaixo:

Você pode aprender mais sobre elas neste link.

Passo 2

Vamos primeiramente verificar a indeterminação deste limite.

lim x → ∞ ⁡ x - ln ⁡ ( x 3 )

Indeterminação: ∞ - ∞

Para aplicar L’Hospital precisamos da indeterminação 0 0 . Pela propriedade 3, temos:

lim x → ∞ ⁡ ( x ) - lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ ( x 3 )

Peala propriedade de logaritmos, temos:

lim x → ∞ ⁡ ( x - 3 ln ⁡ ( x ) )

Reescrevendo:

lim x → ∞ ⁡ x 1 - 3 ln ⁡ ( x ) x

Podemos então aplicar a propriedade 2, já que temos um produto.

lim x → ∞ ⁡ x ∙ lim x → ∞ ⁡ 3 ln ⁡ ( x ) x = lim x → ∞ ⁡ x ∙ 3 lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ ( x ) x

Substituindo o limite

lim x → ∞ ⁡ x ∙ 3 lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x x = ∞ ∙ 1 = ∞

Prontinho, até mais!

Resposta

lim x → ∞ ⁡ x - ln ⁡ ( x 3 ) = ∞

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