Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Outras Indeterminações

Regra de L’Hospital

Seja f x = ln ⁡ 3 π x sen ⁡ 2 x . Determine:

a   lim x → 0 ⁡ f x

Passo 1

Vamos fazer o limite:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 3 π x sen ⁡ 2 x = - ∞ 0

Vamos então usar a seguinte propriedade para conseguir resolver esse cara:

a = e ln ⁡ a

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 3 π x sen ⁡ 2 x = lim x → 0 ⁡ e ln ⁡ ln ⁡ 3 π x sen ⁡ 2 x

= lim x → 0 ⁡ e sen ⁡ 2 x ln ⁡ ln ⁡ 3 π x

Vamos concentrar nesse limite que apareceu no expoente e depois voltamos o resultado para esse limite aqui em cima.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Resolvendo o limite do expoente:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 2 x ln ⁡ ln ⁡ 3 π x

= lim x → 0 ⁡ ln ⁡ ln ⁡ 3 π x cossec ⁡ 2 x

Como esse cara aqui em cima gera indeterminação a gente pode derivar em cima e embaixo, L’Hospital, né?

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ ln ⁡ 3 π x cossec ⁡ 2 x → L ' H lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 3 π x ' ln ⁡ 3 π x 2 - cossec ⁡ 2 x cotg ⁡ 2 x

= lim x → 0 ⁡ 3 π x ' 3 π x 1 ln ⁡ 3 π x 2 - cossec ⁡ 2 x cotg ⁡ x

= lim x → 0 ⁡ 1 x ln ⁡ 3 π x - sen ⁡ 2 x sen ⁡ 2 x 2 cos ⁡ 2 x

= lim x → 0 ⁡ - sen ⁡ 2 x ln ⁡ 3 π x 1 cos ⁡ 2 x sen ⁡ 2 x 2 x

Como ali o cosseno vai para 1 e o seno sobre 2 x é o limite fundamental, e também vai para 0 , podemos substituir no termo todo e vai ficar assim:

lim x → 0 ⁡ - sen ⁡ 2 x ln ⁡ 3 π x 1 cos ⁡ 2 x sen ⁡ 2 x 2 x

= 0 - ∞ 1 1 = 0

Passo 3

Ou seja, voltando lá para o limite do Passo 1 ficamos desse jeito:

lim x → 0 ⁡ e sen ⁡ 2 x ln ⁡ ln ⁡ 3 π x = e 0

= 1

Resposta

lim x → 0 ⁡ f x = 1

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