Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Outras Indeterminações

PUC-RJ - Cálculo 1 - P2 2010.2 - 1 b

Calcule:

b   lim x → ∞ ⁡ x arctg ⁡ x - π 2

Passo 1

Mostramos a indeterminação primeiro:

lim x → ∞ ⁡ x arctg ⁡ x - π 2 ⟹ l i m x → ∞ x ⋅ l i m x → ∞ arctg ⁡ x - π 2 ⟹ ∞ ⋅ 0

Uma vez que:

l i m x → ∞ arctg ⁡ x = π 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Precisamos mexer na função para chegar a uma das indeterminações de L’Hôpital. Para isso, jogamos um fator para baixo:

lim x → ∞ ⁡ x arctg ⁡ x - π 2 = lim x → ∞ ⁡ arctg ⁡ x - π 2 1 / x ⟹ 0 0

Agora podemos aplicar a regra.

Passo 3

Vamos mexer na função para deixar ela com cara de quociente para podermos aplicar nosso L’Hôpital nela:

lim x → ∞ ⁡ arctg ⁡ x - π 2 1 / x = lim x → ∞ ⁡ arctg ⁡ x - π 2 ' 1 / x '

Quando as derivadas:

arctg ⁡ x - π 2 ' = 1 1 + x 2 ;   1 / x ' =   - 1 x 2 ∴ 1 1 / x ' = - x ²

Substituindo tudo:

… = lim x → ∞ ⁡ arctg ⁡ x - π 2 ' 1 / x ' = lim x → ∞ ⁡ arctg ⁡ x - π 2 ' ⋅ 1 1 / x ' = lim x → ∞ ⁡ - x 2 1 + x 2

Esse limite aí nem precisa de L’Hôpital para resolver, é só isolar o termo de maior grau e partir para o abraço:

= lim x → ∞ ⁡ - x 2 x 2 1 x 2 + 1 = lim x → ∞ ⁡ - 1 1 x 2 + 1 = - 1 0 + 1 = - 1

Resposta

lim x → ∞ ⁡ x arctg ⁡ x - π 2 = - 1

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