Calcule o limite: lim x → + ∞ ⁡ 2 π arctg ⁡ x x

Passo 1

Vamos ver o que acontece no ponto desse limite:

lim x → + ∞ ⁡ 2 π arctg ⁡ x x ⟹ 2 π ⋅ π 2 ∞ ⟹ 1 ∞

Que é uma indeterminação de L’Hôpital. Vamos tentar transformar isso numa indeterminação do tipo zero sobre zero ou infinito sobre infinito para podermos aplicá-lo.

Para tal, vamos aplicar o e e ln:

lim x → + ∞ ⁡ 2 π arctg ⁡ x x = lim x → + ∞ ⁡ e ln ⁡ 2 π arctg ⁡ x x

Como:

log ⁡ a b = b ⋅ log ⁡ a

Temos que:

lim x → + ∞ ⁡ e x ln ⁡ 2 π arctg ⁡ x

Jogando o limite para dentro, temos: e l i m x → + ∞ x ln ⁡ 2 π arctg ⁡ x

Passo 2

Vamos ver esse limite agora:

l i m x → + ∞ x ln ⁡ 2 π arctg ⁡ x ⟹ ∞ ⋅ ln ⁡ 1 ⟹ ∞ ⋅ 0

Para sair dessa indeterminação, vamos jogar o x para baixo:

l i m x → + ∞ x ln ⁡ 2 π arctg ⁡ x = l i m x → + ∞ ln ⁡ 2 π arctg ⁡ x 1 / x ⟹ 0 0  

Finalmente podemos aplicar L’Hôpital agora. Derivando numerador e denominador: l i m x → + ∞ ln ⁡ 2 π arctg ⁡ x 1 / x = l i m x → + ∞ ln ⁡ 2 π arctg ⁡ x ' 1 / x ' = l i m x → + ∞ 1 arctg ⁡ x ⋅ 2 / π ⋅ 1 x 2 + 1 ⋅ 2 / π - 1 / x 2 =

- l i m x → + ∞ x 2 x 2 + 1 ⋅ 1 arctg ⁡ x

Passo 3

Agora vamos usar as propriedades do produto de limites:

- l i m x → + ∞ x 2 x 2 + 1 ⋅ 1 arctg ⁡ x = - l i m x → + ∞ x 2 x 2 + 1 ⋅ l i m x → + ∞ 1 arctg ⁡ x

Para o limite à esquerda, dividimos tudo pela maior potência:

- l i m x → + ∞ x 2 x 2 + 1 = - l i m x → + ∞ x 2 / x 2 x 2 / x 2 + 1 / x 2 = - l i m x → + ∞ 1 1 + 1 / x 2 = - 1

Para o limite à direita, temos que:

l i m x → + ∞ 1 arctg ⁡ x = 2 π

Aproveite a oportunidade e grave esse limite, caso não conheça ;-)

Temos então:

- l i m x → + ∞ x 2 x 2 + 1 ⋅ 1 arctg ⁡ x = - 2 π

Passo 4

Muito cuidado agora, lembre-se que esse limite estava dentro de uma exponencial:

lim x → + ∞ ⁡ 2 π arctg ⁡ x x = e - 2 π

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ 2 π arctg ⁡ x x = e - 2 π

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Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → ∞ x 1 / l n   x
Determine o limite: lim x → 0 + ⁡ 1 + 1 x x
Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → 0 + x 2 l n   x
Determine o limite: lim x → ∞ ⁡ x 2 + 1 x + 2 1 x