Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Outras Indeterminações

Regra de L’Hospital

d   lim x → ∞ ⁡ e x + x 1 x

Passo 1

Vamos olhar como esse cara ficaria se substituíssemos seu limite:

lim x → ∞ ⁡ e x + x 1 x = ∞ 0

Indeterminação de expoente. Isso complica a nossa vida. Para transformar esse cara num quociente, no qual podemos usar L’Hospital, vamos usar a seguinte propriedade envolvendo exponencial e logaritmo:

a = e ln ⁡ a

Assim, teríamos:

lim x → ∞ ⁡ e x + x 1 x = lim x → ∞ ⁡ e ln ⁡ e x + x 1 x

Então vamos nos concentrar no limite do expoente desse cara, depois voltamos a esse termo e substituímos ele.

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Passo 2

Calculando, como combinado, o limite ao qual estava elevado o e :

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ e x + x 1 x = lim x → ∞ ⁡ 1 x ln ⁡ e x + x

= lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ e x + x x

Ao substituir esse limite veríamos que cai numa indeterminação de ∞ ∞ . Agora sim, vamos usar L’Hospital, já que temos uma indeterminação em forma de quociente. Derivamos o termo com ajuda da Regra da Cadeia e da Regra do Quociente:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ e x + x x → L ' H lim x → ∞ ⁡ e x + x ' e x + x x '

= lim x → ∞ ⁡ e x + 1 e x + x 1

= lim x → ∞ ⁡ e x + 1 e x + x = ∞ ∞

Continuamos caindo na mesma indeterminação.

Passo 3

Vamos repetir o processo:

lim x → ∞ ⁡ e x + 1 e x + x → L ' H lim x → ∞ ⁡ e x + 1 ' e x + x '

= lim x → ∞ ⁡ e x e x + 1

= lim x → ∞ ⁡ e x + 1 - 1 e x + 1

= lim x → ∞ ⁡ 1 - 1 e x + 1

= 1 - 1 ∞

= 1

Assim, voltando ao termo lá do passo 1 , teríamos:

lim x → ∞ ⁡ e ln ⁡ e x + x 1 x = e 1 = e

Resposta

lim x → ∞ ⁡ e x + x 1 x = e

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