Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Outras Indeterminações

3a) Avalie os limites abaixo e encontre o correspondente valor caso exista:

lim x → 0 + ⁡ x x

Passo 1

Show, bora lá! Pra começar, como todo bom limite que só precisa de um carinho pra ser resolvido, vamos substituir pra ver o que acontece:

lim x → 0 + ⁡ x x = 0 0

Eita! Indeterminação já de cara? Pois é, então pra resolver, vamos precisar mexer um pouco no limite. Por sorte, tem uma propriedade maneiríssima dos logaritmos que da pra gente usar aqui:

f x = e ln ⁡ f x

Se fizermos f x = x x , temos:

x x = e ln ⁡ x x

x x = e x ln ⁡ x

E substituindo no limite, já aproveitando as propriedades deles:

lim x → 0 + ⁡ x x = lim x → 0 + ⁡ e x ln ⁡ x = e lim x → 0 + ⁡ x ln ⁡ x

Opa, maravilha, então temos um outro limite talvez um pouco mais tranquilo de resolver, ele vai ser:

lim x → 0 + ⁡ x ln ⁡ x

Mão na massa agora pra resolver ele!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Olha, a princípio esse novo limite também da indeterminação, saca só:

lim x → 0 + ⁡ x ln ⁡ x = 0 ∙ - ∞

Mas a gente consegue se livrar dessa indeterminação dando uma manipulada bem sagaz. Olha só o que eu vou fazer:

lim x → 0 + ⁡ x ln ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x 1 x

No final das contas, é a mesma função, né não? Mas se eu substituir pra ver o que acontece, o tipo de indeterminação muda! Olha só:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x 1 x = - ∞ + ∞

E opa! Essa indeterminação é clássica de L’Hospital! Podemos então derivar em cima e em baixo e resolver o limite!

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x 1 x = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x ' 1 x ' = lim x → 0 + ⁡ 1 x - 1 x 2 = lim x → 0 + ⁡ - x 2 x = lim x → 0 + ⁡ - x = 0

Viu? Não só a indeterminação sumiu logo de cara como terminamos de resolver o limite!

Passo 3

Agora a gente junta o que achou. Se:

lim x → 0 + ⁡ x x = e lim x → 0 + ⁡ x ln ⁡ x

lim x → 0 + ⁡ x ln ⁡ x = 0

Então:

lim x → 0 + ⁡ x x = e 0 = 1

E feshow!

Resposta

lim x → 0 + ⁡ x x = 1

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