Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Outras Indeterminações

Regra de L’Hospital

Calcule, caso exista, o seguinte limite: lim x → π / 2 - ⁡ 5 π 2 - 5 x cos ⁡ x .

Passo 1

Substituindo direto o limite nós chegamos numa indeterminação de 0 0

Assim, para esse limite devemos usar aquele macete de exponencial e logaritmo.

a = e ln ⁡ a

lim x → π / 2 - ⁡ 5 π 2 - 5 x cos ⁡ x = lim x → π / 2 - ⁡ e ln ⁡ 5 π 2 - 5 x cos ⁡ x

Vamos nos concentrar no limite que está no denominador:

lim x → π 2 - ⁡ ln ⁡ 5 π 2 - 5 x cos ⁡ x = lim x → π 2 - ⁡ ln ⁡ 5 π 2 - 5 x cos ⁡ x

= lim x → π 2 - ⁡ ln ⁡ 5 π 2 - 5 x sec ⁡ x

Ao substituir x → π 2 - nessa situação chegamos numa indeterminação de - ∞ ∞ . Podemos usar L’Hospital nele:

lim x → π 2 - ⁡ ln ⁡ 5 π 2 - 5 x sec ⁡ x → L ' H lim x → π 2 - ⁡ 5 π 2 - 5 x ' 5 π 2 - 5 x sec ⁡ x tg ⁡ x

= lim x → π 2 - ⁡ - 5 5 π 2 - 5 x 1 cos ⁡ x sen ⁡ x cos ⁡ x = lim x → π 2 - ⁡ cos 2 ⁡ x x - π 2 sen ⁡ x

= lim x → π 2 - ⁡ cos 2 ⁡ x x - π 2 ,       p o i s sen ⁡ π 2 = 1

Esse limite aí vai gerar indeterminação de 0 0 dessa vez. Não pode ficar assim, né? L’Hospital nele de novo.

lim x → π 2 - ⁡ cos 2 ⁡ x x - π 2 → L ' H lim x → π 2 - ⁡ 2 cos ⁡ x sen ⁡ x 1 = 2 0 1 = 0

Enfim, temos o seguinte:

lim x → π 2 - ⁡ 5 π 2 - 5 x cos ⁡ x

= lim x → π 2 - ⁡ e ln ⁡ 5 π 2 - 5 x cos ⁡ x = e 0

= 1

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Resposta

lim x → π / 2 - ⁡ 5 π 2 - 5 x cos ⁡ x = 1

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