Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Outras Indeterminações

Calcule o limite

lim x → 1 + ⁡ ln ⁡ x x - 1

Passo 1

Muita calma nessa hora! Cara, vou te dar uma super dica: todo limite com alguma função elevada a outra, pode desconfiar de que teremos usar L’Hopital para matar o problema .

Mas sabemos já que para aplicar o L ' H o p i t a l , precisamos de uma indeterminação do tipo...

0 0           o u           ∞ ∞

Se você aplicar o valor do limite na função que estamos avaliando...

ln ⁡ x x - 1 = ln ⁡ 1 1 - 1 =

0 0

Tome cuidado! Pois o valor desse limite não é 0 0 = 1 ! Pois o que temos lá em cima do l n é uma função que varia também, então nada podemos afirmar sobre o limite, ok? Temos que considerar o 0 0 como uma indeterminação, portanto.

Porém, essa indeterminação não é a que a gente precisa . Todavia, podemos chegar na indeterminação que a gente quer...

0 0           o u           ∞ ∞

Vamos chegar aí fazendo alguns trabalhos algébricos. Então me siga!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como temos uma potenciação de funções... Vamos utilizar uma propriedade de potenciação legal que nos fala...

ln ⁡ x x - 1 = e ln ⁡ ln ⁡ x x - 1 =

Assim, podemos colocar aquele expoente multiplicando por propriedade logarítmica...

e x - 1 ln ⁡ ln ⁡ x

Aplicando o limite...

lim x → 1 + ⁡ ln ⁡ x x - 1 = lim x → 1 + ⁡ e x - 1 ln ⁡ ln ⁡ x

Cara, como a única coisa que depende de x é o expoente, podemos calcular um limite lá em cima e falar que...

lim x → 1 + ⁡ ln ⁡ x x - 1 = e lim   x → 1 + ⁡ x - 1 ln ⁡ ln ⁡ x

Sacou?

Então primeiro calculemos o limite desse expoente e depois substituímos aqui nesse limite que vou chamar de principal. ;)

Passo 3

Calculando então o limite do expoente...

lim   x → 1 + ⁡ x - 1 ln ⁡ ln ⁡ x

Bem, infelizmente... Se substituirmos o ponto nele, ainda não vai dar a indeterminação que queremos...

x - 1 ln ⁡ ln ⁡ x = 1 - 1 ln ⁡ ln ⁡ 1 =

0 ⋅ ln ⁡ 0 =

0 ⋅ ∞

Repare que novamente não podemos considerar 0 ⋅ ∞ = 0 , pois é o produto de duas funções e não sabemos o que acontece na realidade. Então é uma indeterminação, não a que a gente quer, mas é uma indeterminação.

Lembre-se de que uma coisa do tipo...

0 ⋅ ∞ =   ∞ 1 0 =

∞ ∞

(Ah! Só um segredinho de aluno para aluno, fazer essa igualdade ali em cima não é certo matematicamente, pois infinito é só um conceito, fiz isso só para te mostrar como conseguiremos o que queremos ok?)

Enfim, esse último é justamente a indeterminação que buscamos, então...

lim   x → 1 + ⁡ x - 1 ln ⁡ ln ⁡ x = lim   x → 1 + ⁡ ln ⁡ ln ⁡ x 1 x - 1

E agora, com a indeterminação que queremos, podemos aplicar o Teorema...

lim   x → 1 + ⁡ ln ⁡ ln ⁡ x 1 x - 1 = lim   x → 1 + ⁡ ln ⁡ ln ⁡ x ' 1 x - 1 '

Passo 4

Derivando em cima aplicando a regra da cadeia...

lim   x → 1 + ⁡ ln ⁡ ln ⁡ x ' 1 x - 1 ' = lim   x → 1 + ⁡ 1 ln ⁡ x ⋅ 1 x 1 x - 1 '

E agora derivando em baixo aplicando a regra da fração (e a da cadeia)...

lim   x → 1 + ⁡ 1 ln ⁡ x ⋅ 1 x 1 x - 1 ' = lim   x → 1 + ⁡ 1 x ln ⁡ x x - 1 1 ' - 1 x - 1 ' x - 1 2 =

lim   x → 1 + ⁡ 1 x ln ⁡ x - x - 1 ' x - 1 2 =

lim   x → 1 + ⁡ - 1 x ln ⁡ x 1 x - 1 2 =

lim   x → 1 + ⁡ - x - 1 2 x ln ⁡ x

Por L’Hopital então, o limite daquele expoente maluco é igual a esse cara...

lim   x → 1 + ⁡ x - 1 ln ⁡ ln ⁡ x = lim   x → 1 + ⁡ - x - 1 2 x ln ⁡ x

Passo 5

Vamos substituir o ponto e ver se sai alguma coisa do limite...

- x - 1 2 x ln ⁡ x = - 1 - 1 2 ln ⁡ 1 = 0 0

Opa! Outra indeterminação... O que fazemos? Outro L’hopital !

lim   x → 1 + ⁡ - x - 1 2 x ln ⁡ x = lim   x → 1 + ⁡ - x - 1 2 ' x ln ⁡ x ' =

Derivando em cima...

lim   x → 1 + ⁡ - 2 x - 1 x ln ⁡ x ' =

Derivando o de baixo...

lim   x → 1 + ⁡ - 2 x - 1 x ' ln ⁡ x + x ln ⁡ x ' =

lim   x → 1 + ⁡ - 2 x - 1 x ' ln ⁡ x + x ln ⁡ x ' =

lim   x → 1 + ⁡ - 2 x - 1 ln ⁡ x + x x = lim   x → 1 + ⁡ - 2 x - 1 ln ⁡ x + 1

Substituindo o 1 ...

lim   x → 1 + ⁡ - 2 1 - 1 ln ⁡ 1 + 1 = 0 1 = 0

Chegamos a um resultado. Mas cuidado, ainda não é o resultado final, pois se lembra de que esse é o resultado do limite no expoente? Pois então... Devemos retornar ao limite central!

Passo 6

lim x → 1 + ⁡ ln ⁡ x x - 1 = e lim   x → 1 + ⁡ x - 1 ln ⁡ ln ⁡ x

Substituindo o valor daquele limite do expoente...

lim x → 1 + ⁡ ln ⁡ x x - 1 = e 0 =

1

Agora sim! Eis o Resultado do limite pedido ;)

Resposta

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