Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Outras Indeterminações

CEFET - Cálculo 1 - P3 Romulo (2) 2014.2 - 1_a

Utilize a regra de L’Hôpital para calcular os limites indicados abaixo:

lim x → 0 + ⁡ 1 x tg ⁡ x

Passo 1

Vamos lá mostrar a indeterminação:

lim x → 0 + ⁡ 1 x tg ⁡ x ⟹ 1 0 tg ⁡ 0 ⟹ ∞ 0

Temos indeterminação na potência, vamos transformar isso numas das indeterminações de L’Hôpital para poder aplicá-lo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Primeiro aplicamos a exponencial e o logaritmo natural:

1 x tg ⁡ x = e ln ⁡ 1 x tg ⁡ x

Agora aplicamos as propriedades do logaritmo:

… = e ln ⁡ 1 x tg ⁡ x = e tg ⁡ ( x ) ln ⁡ 1 / x

Substituímos no limite:

lim x → 0 + ⁡ 1 x tg ⁡ x = lim x → 0 ⁺ ⁡ e tg ⁡ ( x ) ln ⁡ 1 / x

Passo 3

Como a função exponencial é contínua, jogamos o limite para dentro da exponencial:

lim x → 0 ⁺ ⁡ e tg ⁡ ( x ) ln ⁡ 1 / x = e l i m x → 0 ⁺ tg ⁡ ( x ) ln ⁡ 1 / x

Olhando para aquele limite lá dentro da exponencial:

lim x → 0 + ⁡ tg ⁡ ( x ) ln ⁡ 1 x ⟹ tg ⁡ ( 0 ) ln ⁡ 1 0 ⟹ 0 . ∞

Esse limite não está perfeitinho para aplicar L’Hôpital. Vamos aplicar o que a gente aprendeu anteriormente a jogar uma das funções para baixo:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ 1 / x 1 / tg ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ 1 / x cot g ⁡ ( x ) ⟹ ln ⁡ 1 / 0 cot g ⁡ ( 0 ) ⟹ ∞ ∞

Agora podemos aplicar L’Hôpital sem problemas.

Passo 4

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ 1 / x cot g ⁡ ( x ) = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ 1 / x ' cot g ⁡ ( x ) '

Para o numerador usamos a regra da cadeia:

ln ⁡ 1 / x ' = 1 1 / x ⋅ 1 x ' = x ⋅ - 1 x 2 = - 1 x

Para o denominador temos a derivada fundamental:

cot g ⁡ x ' = - c o s se c 2 ⁡ x ⟹ 1 cot g ⁡ x ' = 1 - c o s se c 2 ⁡ x = - sen ² ⁡ ( x )

Substituindo tudo sem dó:

… = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ 1 / x ' cot ⁡ x ' = l i m x → 0 + ln ⁡ 1 / x ' ⋅ 1 cot ⁡ x ' =   l i m x → 0 + - 1 x ⋅ - sen 2 ⁡ x = l i m x → 0 + sen 2 ⁡ x x ⟹ 0 0

Passo 5

É, essa está pedindo L’Hôpital de novo. Repetimos então:

l i m x → 0 + sen 2 ⁡ x x = l i m x → 0 + sen 2 ⁡ x ' x ' lim x → 0 + ⁡ 2 sen ⁡ ( x ) cos ⁡ ( x ) 1 = 2 sen ⁡ ( 0 ) cos ⁡ ( 0 ) = 2 ⋅ 0 ⋅ 1 = 0

Agora basta voltar no limite inicial, onde analisamos o expoente:

lim x → 0 + ⁡ 1 x tg ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ e tg ⁡ ( x ) ln ⁡ 1 / x = e 0 = 1

UFA!

Resposta

lim x → 0 + ⁡ 1 x tg ⁡ x = 1

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