Calcule os seguintes limites (pode usar a Regra de L’Hôpital):

lim x → 0 ⁡ 1 - 3 x 1 / x

Passo 1

Vamos primeiro ver o que acontece nesse limite:

lim x → 0 ⁡ 1 - 3 x 1 / x ⟹ 1 ∞

Que é uma das indeterminações de L’Hôpital. Vamos tentar transformar isso numa das indeterminações zero sobre zero ou infinito sobre infinito para aplicar a regra.

Passo 2

Aplicando e elevado a ln:

lim x → 0 ⁡ 1 - 3 x 1 / x = lim x → 0 ⁡ e ln ⁡ 1 - 3 x 1 / x

Como a exponencial é continua, podemos jogar o limite para dentro:

e l i m x → 0 ln ⁡ 1 - 3 x 1 / x

Para o limite no expoente:

l i m x → 0 ln ⁡ 1 - 3 x 1 / x = l i m x → 0 1 x ln ⁡ 1 - 3 x

Uma vez que:

log ⁡ a b = b ⋅ log ⁡ a

Para esse limite, temos:

l i m x → 0 1 x ln ⁡ 1 - 3 x = l i m x → 0 ln ⁡ 1 - 3 x x ⟹ ln ⁡ 1 0 ⟹ 0 0

Chegamos numa indeterminação desejada.

Passo 3

Legal, agora podemos aplicar a Regra de L’Hôpital. Derivando em cima e embaixo:

l i m x → 0 ln ⁡ 1 - 3 x x = l i m x → 0 ln ⁡ 1 - 3 x ' x ' = l i m x → 0 1 1 - 3 x ⋅ - 3 1 = l i m x → 0 - 3 1 - 3 x = - 3 1 = - 3

Lembre-se que esse limite é uma expoente:

lim x → 0 ⁡ 1 - 3 x 1 / x = e l i m x → 0 ln ⁡ 1 - 3 x 1 / x = e - 3

Resposta

lim x → 0 ⁡ 1 - 3 x 1 / x = e - 3

Exercícios de Livros Relacionados

Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → ∞ x 1 / l n   x
Determine o limite: lim x → 0 + ⁡ 1 + 1 x x
Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → 0 + x 2 l n   x
Determine o limite: lim x → ∞ ⁡ x 2 + 1 x + 2 1 x