Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Outras Indeterminações

Regra de L’Hospital

Calcule:

c   lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x 2 x

Passo 1

Ao substituir o limite cairíamos numa indeterminação de 0 0 . Para transformar a indeterminação de expoente numa indeterminação de quociente, aonde podemos usar L’Hospital, usamos a seguinte relação:

a = e ln ⁡ a

lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x 2 x = lim x → 0 + ⁡ e ln ⁡ sen ⁡ x 2 x

= lim x → 0 + ⁡ e 2 x ln ⁡ sen ⁡ x

= lim x → 0 + ⁡ e ln ⁡ sen ⁡ x 1 2 x

Vamos nos concentrar só no limite do expoente de e e depois voltamos para esse limite.

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ sen ⁡ x 1 2 x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Usamos L’Hospital nesse cara, que gera indeterminação de - ∞ ∞ :

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ sen ⁡ x 1 2 x → L ' H lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x ' sen ⁡ x 1 2 x '

= lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ x sen ⁡ x - 1 2 x 2

= lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ x x sen ⁡ x - 2 x

Sabemos o seguinte:

lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x x = 1   ( l i m i t e   f u n d . )

lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ x = 1

Assim, a gente já pode substituir tudo e observar o resultado:

lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ x x sen ⁡ x - 2 x = 1 1 1 - 2 0

= 0

Voltando ao limite incial, ficamos assim:

lim x → 0 + ⁡ e ln ⁡ sen ⁡ x 1 2 x = e lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ sen ⁡ x 1 2 x

= e 0 = 1

Resposta

lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x 2 x = 1

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