Use a Regra de L'Hôspital e as propriedades para calcular os seguintes limites:(Justifique cada etapa do cálculo indicando as propriedades usadas).

(d) lim x → + ∞ ⁡ e - x ln ⁡ ( x )

Passo 1

Faaaala, galeraaaa! Tudo belezinha?

Essa questão pede pra gente calcular um limite. E ela já dá a dica de que precisamos usar as propriedades e a Regra de L’Hospital ne. Então bora!

Para resolver essa questão vamos relembrar as propriedades de limites. Veja abaixo.

Além dessas, temos propriedades mais específicas, mostradas abaixo:

Você pode aprender mais sobre elas neste link.

Passo 2

Vamos identificar a indeterminação do limite.Agora vamos começar o cálculo substituindo o x   por , pra ver o que rola:

lim x → + ∞ ⁡ e - x ln ⁡ ( x ) = lim x → + ∞ ⁡ e - ∞ ln ⁡ ( ∞ ) = 0 ∙ ∞

Opa! Uma indeterminação. Já era de se esperar, já que o enunciado fala em L’Hospital!

Só que a regrinha de L’Hospital não é pra qualquer tipo de indeterminação. É pra 0 0 e pra ∞ ∞

Então precisamos dar um jeito tirar essa indeterminação para continuar o cálculo.

Passo 3

Vamos reescrever a equação para obter um novo tipo de indeterminação. Temos que:

lim x → + ∞ ⁡ e - x ln ⁡ x = lim x → + ∞ ⁡ 1 e x ln ⁡ ( x ) = lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ ( x ) e x

Agora podemos verificar novamente a indeterminação, temos:

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ ( x ) e x = ∞ ∞

Indeterminação: ∞ ∞

Podemos agora aplicar L’Hospital. Com esta regra, podemos facilitar nossos cálculos usando somente derivadas e manipulação algébrica até obter um valor.

O que a gente fazer é substituir o numerador e o denominador da nossa função pelas suas respectivas derivadas, olha só.

Aplicando L’Hospital obtemos:

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ ( x ) e x = lim x → + ∞ ⁡ 1 x e x = lim x → + ∞ ⁡ 1 x 1 e x = l i m x → + ∞ 1 x e x

Aplicando a propriedade 5 :

l i m x → + ∞ 1 x e x = l i m x → + ∞ 1 l i m x → + ∞ ( x e x ) = 1 ∞ = 0

Prontinho, até mais!

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ e - x ln ⁡ ( x ) = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → ∞ x 1 / l nx
Determine o limite:underset(x - 0^+)(lim) (1 + (1)/(x))^x
Determine o limite:underset(x - oo)(lim) ((x^2 + 1)/(x + 2))^((1)/(x))
Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → 0 + x 2 l nx
Encontre o limite. Use a regra de L’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a regra de L’Hôspital não se aplicar, o porquê. l i m x → 0 x x - 1 ln