Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Outras Indeterminações

Regra de L’Hospital

Calcule o limite:

lim x → 0 ⁡ e x + x 1 x

Passo 1

Vamos começar substituindo

lim x → 0 ⁡ e x + x 1 x = e 0 + 0 1 0 = 1 ∞

E chegamos numa já conhecida indeterminação. Nossa única alternativa é manipular algebricamente a função, de forma que possamos transformar a indeterminação num tipo 0 / 0 ou ∞ / ∞ de forma que podemos aplicar a regra de L’Hospital

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Temos que

e x + x 1 x = e ln ⁡ e x + x ∙ 1 x = e ln ⁡ e x + x x

Nosso limite vai ficar

lim x → 0 ⁡ e x + x 1 x = lim x → 0 ⁡ e ln ⁡ e x + x x

Como a função exponencial é contínua podemos fazer uma jogadinha malandra aqui

lim x → 0 + ⁡ e ln ⁡ e x + x x = e lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ e x + x x

Então só importa

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ e x + x x

É importante não esquecer que esse cara é o expoente de e então o que acharmos para esse limite temos que colocar como expoente de e .

Passo 3

Vamos a esse limite,

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ e x + x x = ln ⁡ e 0 + 0 0 = ln ⁡ 1 0 = 0 0

Podemos aplica L’Hospital aqui

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ e x + x x = lim x → 0 ⁡ ln ⁡ e x + x ' x ' = lim x → 0 ⁡ e x + x ' e x + x 1 = lim x → 0 ⁡ e x + x ' e x + x

⇒ lim x → 0 ⁡ e x + 1 e x + x = e 0 + 1 e 0 + 0 = 1 + 1 1 = 2

Passo 4

O nosso limite original vai ficar

lim x → 0 ⁡ e x + x 1 x = e 2

Resposta

e 2

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