Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Outras Indeterminações

Calcule o limite:

lim x → 0 ⁡ 1 e 1 + x 1 x 1 x

Passo 1

Caramba, esse limite é gigante, vamos ver o que acontece com ele: lim x → 0 ⁡ 1 e 1 + x 1 x 1 x ⟹ 1 e ⋅ 1 ∞ ∞  

Hummm. Não ficou muito claro se é uma das indeterminações de L’Hôpital, mas vamos dar uma manipulada na expressão para ver se conseguimos chegar em zero sobre zero ou infinito sobre infinito.

Para tal, vamos aplicar e e ln: lim x → 0 ⁡ 1 e 1 + x 1 x 1 x = l i m x → 0   e ln ⁡ 1 e 1 + x 1 x 1 x

Jogando o limite para dentro: … = e l i m x → 0 ln ⁡ 1 e 1 + x 1 x 1 x

Vamos analisar esse limite de dentro. Usando a propriedade do log:

l i m x → 0 ln ⁡ 1 e 1 + x 1 x 1 x = l i m x → 0 1 x ln ⁡ 1 e 1 + x 1 x = l i m x → 0 ln ⁡ 1 + x 1 x e x

Só que ainda da pra simplificar um pouco mais. Das propriedades dos log’s podemos fazer ainda:

l i m x → 0 ln ⁡ 1 + x 1 x e x = l i m x → 0 ln ⁡ 1 + x 1 x - ln ⁡ e x = l i m x → 0 1 x ln ⁡ 1 + x - 1 x

E pra tirar aquele 1 x pendurado no ln ⁡ 1 + x podemos colocar o - 1 no mesmo denominador:

l i m x → 0 1 x ln ⁡ 1 + x - 1 x = l i m x → 0 1 x ln ⁡ 1 + x - x x x = l i m x → 0 ln ⁡ 1 + x - x x 2

Agora sim tem cara de algo que pode sair por L’Hôpital. Vamos substituir então pra ver o que acontece

= l i m x → 0 ln ⁡ 1 + x - x x 2 = ln ⁡ 1 + 0 - 0 0 2 ⟹ ln ⁡ 1 0 ⟹ 0 0

Que é uma das indeterminações que queríamos. Vamos então derivar em cima e em baixo:

l i m x → 0 ln ⁡ 1 + x - x x 2 = l i m x → 0 ln ⁡ 1 + x - x ' x 2 ' = l i m x → 0 1 1 + x - 1 2 x = l i m x → 0 1 1 + x - 1 + x 1 + x 2 x

= l i m x → 0 1 - 1 - x 1 + x 2 x = l i m x → 0 - x 1 + x 2 x = l i m x → 0 - x 2 x 1 + x = l i m x → 0 - x 2 x + 2 x 2

Beleza, vamos ver se agora vai. Substituindo então:

l i m x → 0 - x 2 x + 2 x 2 = - 0 2 . 0 + 2 . 0 2 ⟹ 0 0

Ainda não foi, então mas como deu 0 0 de novo a gente pode fazer L’Hôpital. Vamos ficar com:

l i m x → 0 - x 2 x + 2 x 2 = l i m x → 0 - x ' 2 x + 2 x 2 ' = l i m x → 0 - 1 2 + 4 x

Substituindo direito, já que não há mais indeterminação:

l i m x → 0 - 1 2 + 4 x = - 1 2 + 4.0 = - 1 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Lembre-se que esse limite está dentro de uma exponencial:

lim x → 0 ⁡ 1 e 1 + x 1 x 1 x = e l i m x → 0 e 2 x 2 x + 1 3 = e - 1 / 2

Resposta

lim x → 0 ⁡ 1 e 1 + x 1 x 1 x = e - 1 / 2

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas