Use a Regra de L'Hôspital e as propriedades para calcular os seguintes limites:(Justifique cada etapa do cálculo indicando as propriedades usadas).

(a) lim x → ∞ ⁡ 1 + 3 x x

Passo 1

Faaaala, galeraaaa! Tudo belezinha?

Para resolver essa questão vamos relembrar as propriedades de limites. Veja abaixo.

Além dessas, temos propriedades mais específicas, mostradas abaixo:

Você pode aprender mais sobre elas neste link.

Passo 2

Vamos identificar a indeterminação do limite.

lim x → ∞ ⁡ 1 + 3 x x = lim x → ∞ ⁡ 1 + 3 ∞ ∞ = ( 1 + 0 ) ∞ = 1 ∞

Então precisamos tirar a indeterminação para continuar o cálculo.

Passo 3

Vamos aplicar a função logarítmica em ambos os lados da equação. Temos que:

lim x → ∞ ⁡ y = lim x → ∞ ⁡ 1 + 3 x x

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ ( y ) = lim x → ∞ ⁡ xln ⁡ 1 + 3 x

Indeterminação: ∞ ∙ 0

Logo, podemos

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ ( y ) = lim x → ∞ ⁡ xln ⁡ 1 + 3 x = lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + 3 x x

Indeterminação: 0 0

Só podemos aplicar L’Hospital caso a indeterminação seja 0 0 . Com esta regra, podemos facilitar nossos cálculos usando somente derivas e manipulação algébrica até obter um valor.

Aplicando L’Hospital obtemos:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ ( y ) = lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + 3 x x

Reorganizando:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ ( y ) = lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 1 + 1 x + 1 x 2 - 1 x 2 = 1

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ ( y ) = 1

Aplicando a propriedade logarítmica novamente, obtemos:

ln ⁡ lim x → ∞ ⁡ y = 1

lim x → ∞ ⁡ y = e 1

lim x → ∞ ⁡ 1 + 3 x x = e 1

Prontinho, até mais!

Resposta

lim x → ∞ ⁡ 1 + 3 x x = e 1

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