Calcule os seguintes limites (pode usar a Regra de L’Hôpital):

lim x → 0 ⁡ 1 - 3 x 1 / x

Passo 1

Vamos primeiro ver o que acontece nesse limite:

lim x → 0 ⁡ 1 - 3 x 1 / x ⟹ 1 ∞

Que é uma das indeterminações de L’Hôpital. Vamos tentar transformar isso numa das indeterminações zero sobre zero ou infinito sobre infinito para aplicar a regra.

Passo 2

Aplicando e elevado a ln:

lim x → 0 ⁡ 1 - 3 x 1 / x = lim x → 0 ⁡ e ln ⁡ 1 - 3 x 1 / x

Como a exponencial é continua, podemos jogar o limite para dentro:

e l i m x → 0 ln ⁡ 1 - 3 x 1 / x

Para o limite no expoente:

l i m x → 0 ln ⁡ 1 - 3 x 1 / x = l i m x → 0 1 x ln ⁡ 1 - 3 x

Uma vez que:

log ⁡ a b = b ⋅ log ⁡ a

Para esse limite, temos:

l i m x → 0 1 x ln ⁡ 1 - 3 x = l i m x → 0 ln ⁡ 1 - 3 x x ⟹ ln ⁡ 1 0 ⟹ 0 0

Chegamos numa indeterminação desejada.

Passo 3

Legal, agora podemos aplicar a Regra de L’Hôpital. Derivando em cima e embaixo:

l i m x → 0 ln ⁡ 1 - 3 x x = l i m x → 0 ln ⁡ 1 - 3 x ' x ' = l i m x → 0 1 1 - 3 x ⋅ - 3 1 = l i m x → 0 - 3 1 - 3 x = - 3 1 = - 3

Lembre-se que esse limite é uma expoente:

lim x → 0 ⁡ 1 - 3 x 1 / x = e l i m x → 0 ln ⁡ 1 - 3 x 1 / x = e - 3

Resposta

lim x → 0 ⁡ 1 - 3 x 1 / x = e - 3

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Encontre o limite. lim x → 0 ⁡ e x + x 1 x
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