Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Outras Indeterminações

CEFET - Cálculo 1 - P3 Romulo (2) 2014.2 - 1_a

Utilize a regra de L’Hôpital para calcular os limites indicados abaixo:

lim x 0 + 1 x tg x

Passo 1

Vamos lá mostrar a indeterminação:

lim x 0 + 1 x tg x 1 0 tg 0 0

Temos indeterminação na potência, vamos transformar isso numas das indeterminações de L’Hôpital para poder aplicá-lo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Primeiro aplicamos a exponencial e o logaritmo natural:

1 x tg x = e ln 1 x tg x

Agora aplicamos as propriedades do logaritmo:

= e ln 1 x tg x = e tg ( x ) ln 1 / x

Substituímos no limite:

lim x 0 + 1 x tg x = lim x 0 e tg ( x ) ln 1 / x

Passo 3

Como a função exponencial é contínua, jogamos o limite para dentro da exponencial:

lim x 0 e tg ( x ) ln 1 / x = e l i m x 0 tg ( x ) ln 1 / x

Olhando para aquele limite lá dentro da exponencial:

lim x 0 + tg ( x ) ln 1 x tg ( 0 ) ln 1 0 0 .

Esse limite não está perfeitinho para aplicar L’Hôpital. Vamos aplicar o que a gente aprendeu anteriormente a jogar uma das funções para baixo:

lim x 0 + ln 1 / x 1 / tg x = lim x 0 + ln 1 / x cot g ( x ) ln 1 / 0 cot g ( 0 )

Agora podemos aplicar L’Hôpital sem problemas.

Passo 4

lim x 0 + ln 1 / x cot g ( x ) = lim x 0 + ln 1 / x ' cot g ( x ) '

Para o numerador usamos a regra da cadeia:

ln 1 / x ' = 1 1 / x 1 x ' = x - 1 x 2 = - 1 x

Para o denominador temos a derivada fundamental:

cot g x ' = - c o s se c 2 x 1 cot g x ' = 1 - c o s se c 2 x = - sen ² ( x )

Substituindo tudo sem dó:

= lim x 0 + ln 1 / x ' cot x ' = l i m x 0 + ln 1 / x ' 1 cot x ' =   l i m x 0 + - 1 x - sen 2 x = l i m x 0 + sen 2 x x 0 0

Passo 5

É, essa está pedindo L’Hôpital de novo. Repetimos então:

l i m x 0 + sen 2 x x = l i m x 0 + sen 2 x ' x ' lim x 0 + 2 sen ( x ) cos ( x ) 1 = 2 sen ( 0 ) cos ( 0 ) = 2 0 1 = 0

Agora basta voltar no limite inicial, onde analisamos o expoente:

lim x 0 + 1 x tg x = lim x 0 + e tg ( x ) ln 1 / x = e 0 = 1

UFA!

Resposta

lim x 0 + 1 x tg x = 1

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